Giải bài 3 trang 24 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm phương trình của parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\) biết:

a) Parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x=-2; x=1 và đi qua điểm M(-1;3);

b) Parabol (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ y=-2 và hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -4 tại x=2.

Lời giải chi tiết

a) Parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x=-2; x=1 hay (P) đi qua A(-2;0) và B(1;0)

\(A( - 2;0) \in (P)\) nên ta có: \(0 = a{.2^2} - b.2 + c\) hay \(4a + 2b + c = 0\)

\(B(1;0) \in (P)\) nên ta có: \(0 = a{.1^2} + b.1 + c\) hay \(a + b + c = 0\)

\(M( - 1;3) \in (P)\) nên ta có: \(3 = a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + c\) hay \(a - b + c = 3\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a - b + c = 3\\4a - 2b + c = 0\\a + b + c = 0\end{array} \right.\)

Dùng máy tính cầm tay giải HPT, ta được \(a =  - \frac{3}{2},{\rm{ }}b =  - \frac{3}{2},{\rm{ }}c = 3.\)

Vậy parabol cần tìm là: \(y =  - \frac{3}{2}{x^2} - \frac{3}{2}x + 3\)

b)

Parabol (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ y=-2 hay (P) đi qua điểm N(0;-2)

\(N(0; - 2) \in (P)\) nên ta có: \( - 2 = c\)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -4 tại x=2 hay (P) đi qua điểm Q(2;-4) và \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\)

\(Q(2; - 4) \in (P)\) nên ta có: \(4a + 2b - 2 =  - 4\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 2b =  - 2\\b =  - 4a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy parabol cần tìm là: \(y = \frac{1}{2}{x^2} - 2x - 2\)