Bài 2.60 trang 132 SBT giải tích 12

Giải các bất phương trình logarit sau:

LG a

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge  - 2\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge  - 2\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x - 1 \le {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x - 1 \le 9\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x \le 10\)

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle 1 < x \le 10\).

LG b

\(\displaystyle {\log _3}(x - 3) + {\log _3}(x - 5) < 1\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\).

Khi đó bpt\(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _3}{\rm{[}}(x - 3)(x - 5){\rm{]}} < {\log _3}3\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) < 3\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 < 3\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 < 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow 2 < x < 6\).

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle 5 < x < 6\).

LG c

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} < 0\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} > 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow x - 7 > 0\)(vì \(2x^2+3>0,\forall x\in R\))

\( \Leftrightarrow x > 7\).

Khi đó bpt\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} = 1\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow 2{x^2} + 3 > x - 7\) (vì \(x-7 > 0,\forall x>7\))

\(\displaystyle  \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 10 > 0\)

(luôn đúng vì \(a=2>0\) và \(\Delta  = {1^2} - 4.2.10 =  - 79 < 0\)).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(\displaystyle x > 7\).

LG d

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{\log _2}{x^2} > 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} > {2^0} = 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó bpt\(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > {\log _{\frac{1}{3}}}1\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < 1 \Leftrightarrow {x^2} < 2\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow  - \sqrt 2  < x < \sqrt 2 \)

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}1 < x < \sqrt 2 \\ - \sqrt 2  < x <  - 1\end{array} \right.\).

LG e

\(\displaystyle \frac{1}{{5 - \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\)

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = \log x\), biến đổi bất phương trình về ẩn \(\displaystyle t\).

- Giải bất phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\log x \ne 5\\\log x \ne  - 1\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne {10^5}\\
x \ne {10^{ - 1}}
\end{array} \right.\)

Đặt \(\displaystyle t = \log x\) với điều kiện \(\displaystyle t \ne 5,t \ne  - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}
 \frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 2\left( {5 - t} \right) - \left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 10 - 2t - 5 - 4t + {t^2}}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 5t + 6}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0
\end{array}\)

Xét dấu VT ta được: \(\displaystyle  \left[ \begin{array}{l}t <  - 1\\2 < t < 3\\t > 5\end{array} \right.\)

TH1: \(\displaystyle t <  - 1\) suy ra \(\displaystyle \log x <  - 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{{10}}\).

TH2: \(\displaystyle 2 < t < 3\) suy ra \(\displaystyle 2 < \log x < 3 \Leftrightarrow 100 < x < 1000\).

TH3: \(\displaystyle t > 5\) suy ra \(\displaystyle \log x > 5 \Leftrightarrow x > {10^5}\).

Kết hợp với điều kiện ta được \(\displaystyle 0 < x < \frac{1}{{10}}\) hoặc \(\displaystyle 100 < x < 1000\) hoặc \(\displaystyle x > 100000\).

LG g

\(\displaystyle 4{\log _4}x - 33{\log _x}4 \le 1\)

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = {\log _4}x\), biến đổi bất phương trình về ẩn \(\displaystyle t\).

- Giải bất phương trình và suy ra nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\displaystyle x > 0,x \ne 1\).

Đặt \(\displaystyle t = {\log _4}x \Rightarrow x = {4^t}\), ta có:

\(\begin{array}{l}
4t - 33{\log _{{4^t}}}4 \le 1\\
\Leftrightarrow 4t - \frac{{33}}{t}{\log _4}4 \le 1\\
\Leftrightarrow 4t - \frac{{33}}{t} \le 1
\end{array}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{4{t^2} - t - 33}}{t} \le 0\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{(4t + 11)(t - 3)}}{t} \le 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le  - \frac{{11}}{4}\\0 < t \le 3\end{array} \right.\)

\(\displaystyle  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _4}x \le  - \frac{{11}}{4}\\0 < {\log _4}x \le 3\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x \le {4^{ - \frac{{11}}{4}}}\\1 < x \le 64\end{array} \right.\)