Bài 21 trang 22 Vở bài tập toán 8 tập 2

Giải các phương trình:

LG a

 \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\) 

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.

Bước 2: Qui đồng khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

*) Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)

\( \Leftrightarrow A(x) = 0\) hoặc \(B(x) =0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \({x^3} - 1 \ne 0\) tức là \( x ≠ 1\)

Quy đồng mẫu thức:

\(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{{3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}}\)

\(  \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x + 1 - 3{x^2}}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^3} - 1}}\)

Khử mẫu thức, ta được phương trình

\( {x^2} + x + 1 - 3{x^2} = 2x\left( {x - 1} \right) \)

Giải phương trình nhận được:

\(- 2{x^2} + x + 1 = 2{x^2} - 2x\)

\( \Leftrightarrow 0 = 2{x^2} - 2x + 2{x^2} - x - 1\)

\( \Leftrightarrow 0 = 4{x^2} - 3x - 1\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 3x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 4x+x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x - 1 = 0 \hfill \\ 
4x + 1 = 0 \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 1} \cr {x = - \dfrac{1}{4}}\cr} }\right.\)

Kiểm tra kết quả: Giá trị \(x=1\) bị loại do không thỏa mãn điều kiện xác định, giá trị \({x = - \dfrac{1}{4}}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{1}{4}\)

LG b

\(\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) 

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định. 

Bước 2: Qui đồng khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

*) Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)

\( \Leftrightarrow A(x) = 0\) hoặc \(B(x) =0\)

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

Điều kiện xác định: \(x-1\ne 0;x-2\ne0; x-3\ne0\), tức là \(x ≠ 1, 2,  3\). 

Quy đồng mẫu thức:

\(\dfrac{3}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} \)\(\,= \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

Khử mẫu thức, ta được phương trình:

\( 3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 2} \right) = x - 1\)

Giải phương trình nhận được:

\( 3x - 9 + 2x - 4 = x - 1\)

\(⇔ 4x = 12\)

\(⇔ x = 3\)

Kiểm tra kết quả: Giá trị \(x=3\) không thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình vô nghiệm.

LG c

 \(1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\) 

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định. 

Bước 2: Qui đồng khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

*) Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)

\( \Leftrightarrow A(x) = 0\) hoặc \(B(x) =0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(8 + {x^3} \ne 0\), tức là \( x ≠ -2\).

Quy đồng mẫu thức:

\(1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{8 + {x^3}}}{{8 + {x^3}}} + \dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{8 + {x^3}}} = \dfrac{{12}}{{8 + {x^3}}}\)

Khử mẫu thức, ta được phương trình:

\( {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12 \)

Giải phương trình nhận được:

\({x^3} + {x^2} - 2x = 12 - 8 - 4\)

\(\Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 2x - x - 2} \right] = 0\)

⇔\(x[ x(x+2) - (x+2) ] = 0\)

⇔ \(x(x + 2)(x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x + 2 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right. \) 

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 2\\
x = 1
\end{array} \right.\)

Kiểm tra kết quả: Giá trị \(x=0;x=1\) thỏa mãn ĐKXĐ; giá trị \(x=-2\) không thỏa mãn ĐKXĐ. 

Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).

LG d

\(\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}}\)\(\, = \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) 

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định. 

Bước 2: Qui đồng khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình bằng cách chuyển vế đưa về dạng phương trình tích.

*) Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)

\( \Leftrightarrow A(x) = 0\) hoặc \(B(x) =0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(x - 3 \ne 0;x + 3 \ne 0\) và \(2x + 7 \ne 0\), tức là \(x \ne  \pm 3,x \ne  - 3,5\)

Quy đồng mẫu thức:  

\(\dfrac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{2x + 7}} \)\(\,= \dfrac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

Khử mẫu thức, ta được phương trình:

\(  13\left( {x + 3} \right) + \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) \)\(= 6\left( {2x + 7} \right) \)

Giải phương trình nhận được:

\(13x + 39 + {x^2} - 9 = 12x + 42\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0\)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 3\left( \text{không thỏa mãn} \right)\\
x = - 4\left( \text{thỏa mãn} \right)
\end{array} \right.\)

Kiểm tra kết quả: Giá trị \(x=3\) bị loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ, giá trị \(x=-4\) thỏa mãn ĐKXĐ.

Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -4\).