Giải bài 2 trang 104 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Người ta ghép ba hình tam giác đều với độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31.

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.

c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.

Lời giải chi tiết

a, Ta có: \(\widehat {ABE} + \widehat {EBD} + \widehat {DBC} = {180^0}\)

Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng

b, Do:

\(\begin{array}{l}\widehat {BDE} = \widehat {DBC} = {60^0} \Rightarrow ED//BC\left( 1 \right)\\\widehat {BED} = \widehat {EBA} = {60^0} \Rightarrow ED//AB\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2) suy ra: ED//AC suy ra tứ giác ABCD là hình thang

Mà: \(\widehat {EAC} = \widehat {DCA} = {60^0}\) suy ra hình thang ABCD là hình thang cân

c, \(B{D^2} = B{H^2} + H{D^2} \Rightarrow B{H^2} = B{D^2} - H{D^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = a\sqrt {\frac{3}{4}} \)

AC = a + a = 2a

Diện tích của tứ giác ABCD là: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.BH.(ED + AC) = \frac{1}{2}.a\sqrt {\frac{3}{4}} .(2a + a) = \frac{{3{a^2}}}{2}\sqrt {\frac{3}{4}} \)