Bài 16 trang 121 Vở bài tập toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15cm, BC = 39cm. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Vẽ đường tròn (D ; DA).

a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đó

b) Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(DE \bot BC.\)

Điểm D thuộc tia phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) nên \(DE = DA.\)

Khoảng cách từ \(D\) đến \(BC\) bằng bán kính đường tròn \(\left( {D;DA} \right)\) nên \(BC\) là tiếp tuyến của \(\left( {D;DA} \right)\)

b) Tính \(AC:\) Áp dụng định lí Py-ta-go ta có

\(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {39^2} - {15^2} = 1296\) nên \(AC = 36cm.\)

Tính \(DA:\) Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác \(ABC,\) ta có

\(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{15}}{{39}} = \dfrac{5}{{13}}.\)

Do đó \(\dfrac{{DA}}{5} = \dfrac{{DC}}{{13}} = \dfrac{{DA + DC}}{{5 + 13}} = \dfrac{{AC}}{{18}} = 2.\)

Suy ra \(DA = 2.5 = 10\left( {cm} \right).\)

Vậy bán kính của đường tròn \(\left( D \right)\) bằng \(10cm.\)