Bài 1.57 trang 41 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Nghiệm của phương trình \(3(\cos x-\sin x)-\sin x\cos x=-3\) là

A. \(\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) và \(\pi+k2\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)

B. \(\pi+k2\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\)

C. \(\dfrac{\pi}{4}+k2\pi, k\in\mathbb{Z}\)

D. \(\dfrac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb{Z}\).

Lời giải chi tiết

Đặt \(t=\cos x-\sin x\)

\(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\)

Do \(-1\le\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\le 1\) nên \(-\sqrt{2}\le\sqrt{2}\cos\left({x+\dfrac{\pi}{4}}\right)\le \sqrt{2}\)

Khi đó \(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\)

Ta có \(t^2={\cos}^2 x-2\cos x\sin x+{\sin}^2 x\)

\(=1-2\cos x\sin x\)

Suy ra \(\sin x\cos x=\dfrac{1-t^2}{2}\) thay vào phương trình ta được

\(3t-\dfrac{1-t^2}{2}=-3\)

\(\Leftrightarrow 6t-1+t^2=-6\)

\(\Leftrightarrow t^2+6t+5=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=-5<-\sqrt{2}\text{(loại)}\\ t =-1\end{array} \right.\)

Với \(t=-1\Leftrightarrow \cos x-\sin x=-1\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\cos(\dfrac{\pi}{4}+x)=-1\)

\(\Leftrightarrow \cos(\dfrac{\pi}{4}+x)=\cos\dfrac{3\pi}{4}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{\pi}{4}+x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\\ x=-\pi+k2\pi,k\in\mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \( x=k2\pi,k\in\mathbb{Z}\) và \( x =-\pi+k2\pi=\pi+l2\pi,k,l\in\mathbb{Z} \)

Đáp án: A.

Cách trắc nghiệm:

Xét các phương án

Phương án A có hai khả năng, nên ta xét các phương án khác đơn giản hơn.

• Với x = kπ trong phương án B, khi k = 2 thì vế trái của phương trình đã cho bằng 3, nên phương án B bị loại.

• Với x = π/4 thì cosx – sinx = 0, sinx.cosx = 1/2 nên π/4 không phải là nghiệm. Do đó phương án C bị loại.

• Với x = π/6 thì vế trái của phương trình đã cho là:

\(3\left( {\cos \frac{\pi }{6} - \sin \frac{\pi }{6}} \right) - \sin \frac{\pi }{6}\cos \frac{\pi }{6}\) \( = \frac{{3\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{4} \ne  - 3\) nên phương án D bị loại.