Bài 12 trang 100 Vở bài tập toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang \(ABCD\) \(\left( {AB//C{\rm{D}}} \right)\) có \(AC = BD.\)

Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(AC\), cắt đường thẳng \(DC\) tại \(E.\) Chứng mình rằng:

a) \(∆BDE\) là tam giác cân.

b) \(∆ACD = ∆BDC.\)

c) Hình thang \(ABCD\) là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

a) Hình thang \(ABEC\; (AB // CE)\) có hai cạnh bên \(AC, BE\) song song nên \(  AC = BE\)  (1)

Theo giả thiết \(AC = BD\)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BE = BD\) nên \(\Delta BDE\) là tam giác cân.

b)

\(∆BDE\) cân (câu a) nên \( \widehat {{D_1}} = \widehat E\)      (3)

\(AC//BE \) nên \( \widehat {{C_1}} = \widehat E\) (2 góc đồng vị)      (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(  \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)

\(∆ACD\) và \( ∆BDC\) có:

+) \(AC = BD\) (giả thiết)

+) \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (chứng minh trên)

+) \(CD\) cạnh chung

Do đó \(∆ACD = ∆BDC\) (c.g.c)

c) \(∆ACD = ∆BDC\) (câu b) suy ra \(  \widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BCD}\) (\(2\) góc tương ứng)

Hình thang \(ABCD\) có \(  \widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BCD}\) nên là hình thang cân.