Bài 10 trang 99 Vở bài tập toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), các đường phân giác \(BD, CE\) (\(D ∈ AC, E ∈ AB\)). Chứng minh rằng \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Lời giải chi tiết

\(∆ABD\) và  \(∆ACE\) có:

\(AB = AC\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)) 

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (vì \(\widehat {{B_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat B,\,\widehat {{C_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat C\,\,\text{và}\,\,\widehat B = \widehat C\))

Do đó \( \Delta ABD = \Delta ACE{\rm{ }}\left( {g.c.g} \right) \) suy ra \( A{\rm{D}} = A{\rm{E}}\)

Tam giác \( ABC\) cân nên \(\widehat B = \widehat C = \left( {{{180}^o} - \widehat A} \right):2\)   (1)

Tam giác \(ADE\) cân nên \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}} = \left( {{{180}^o} - \widehat A} \right):2\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat B = \widehat {{E_1}}\), hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(ED//BC\).

Vậy \(BEDC\) là hình thang, lại có \(\widehat B = \widehat C \) nên là hình thang cân. 

Do \(ED//BC\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_2}}\) (SLT), lại có \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\), suy ra \(\Delta BDE\) cân, do đó \(EB = ED\).