Bài 1.17 trang 19 SBT hình học 12
Giải bài 1.17 trang 19 sách bài tập hình học 12. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B’C’ và C’D’.
Đề bài
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\), trong đó \(\left( H \right)\) là hình đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện \(\left( H \right)\) và thể tích hình đa diện \(\left( {H'} \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi \(\left( {AEF} \right)\).
- Đặt thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(V\).
- Tính thể tích khối đa diện \(\left( H \right)\) bằng phương pháp phân chia khối đa diện.
Chú ý: Công thức tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác \(S.A'B'C'\) và \(S.ABC\) với \(A' \in SA,B' \in SB,C' \in SC\) là \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\).
Lời giải chi tiết
Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), gọi \(I,J\) lần lượt là giao điểm của \(EF\) với \(A'B'\) và \(A'D'\).
Trong \(\left( {ADD'A'} \right)\), gọi \(M = AJ \cap D'D\).
Trong \(\left( {ABB'A'} \right)\), gọi \(L = AI \cap BB'\).
Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi \(\left( {AEF} \right)\) là ngũ giác \(AMFEL\).
Khi đó \(\left( H \right)\) là khối đa diện chứ đỉnh \(A'\) và \({V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}\).
Gọi \({V_0}\) là thể tích khối tứ diện\(A.A'IJ\). \(V\) là thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Vì \(EB' = EC'\) và \(B'I//C'F\) nên \(IB' = FC' = \dfrac{{A'B'}}{2}\)
Do đó \(\dfrac{{IB'}}{{IA'}} = \dfrac{1}{3}\)
Mà \(BE'//A'J\;\), \(B'L//AA'\) \( \Rightarrow \dfrac{{IL}}{{IA}} = \dfrac{{IE}}{{IJ}} = \dfrac{{IB'}}{{IA'}} = \dfrac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \dfrac{{IL}}{{IA}}.\dfrac{{IE}}{{IJ}}.\dfrac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}}\)
Do đó \({V_{I.ELB'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_0}\)
Tương tự \({V_{J.MFD'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_0}\)
Gọi \(A'B' = a,B'C' = b\), đường cao hạ từ \(A\) xuống \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) là \(h\) thì \(IA' = \dfrac{3}{2}A'B' = \dfrac{{3a}}{2};\) \(A'J = \dfrac{3}{2}A'D' = \dfrac{{3b}}{2}\) và
\(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)\( = {S_{A'B'C'D'}}h = abh.\sin \widehat {B'A'D'}\);
\({V_0} = \dfrac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h\) \( = \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{3b}}{2}\sin \widehat {B'A'D'}} \right)h\) \( = \dfrac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_0}}}{V} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \dfrac{{3V}}{8}\)
Vậy \({V_{(H)}} = {V_0} - \dfrac{2}{{27}}{V_0}\)\( = \dfrac{{25}}{{27}}{V_0} = \dfrac{{25}}{{27}}.\dfrac{{3V}}{8} = \dfrac{{25}}{{72}}V\)
\({V_{(H')}} = V - {V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{47}}{{72}}V\) \( \Rightarrow \dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \dfrac{{25}}{{47}}\).
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 1.17 trang 19 SBT hình học 12 timdapan.com"
