Bài 1.17 trang 19 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\), trong đó \(\left( H \right)\) là hình đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện \(\left( H \right)\) và thể tích hình đa diện \(\left( {H'} \right)\).

Lời giải chi tiết

Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), gọi \(I,J\) lần lượt là giao điểm của \(EF\) với \(A'B'\) và \(A'D'\).

Trong \(\left( {ADD'A'} \right)\), gọi \(M = AJ \cap D'D\).

Trong \(\left( {ABB'A'} \right)\), gọi \(L = AI \cap BB'\).

Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi \(\left( {AEF} \right)\) là ngũ giác \(AMFEL\).

Khi đó \(\left( H \right)\) là khối đa diện chứ đỉnh \(A'\) và \({V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}\).

Gọi \({V_0}\) là thể tích khối tứ diện\(A.A'IJ\). \(V\) là thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).

Vì \(EB' = EC'\) và \(B'I//C'F\) nên \(IB' = FC' = \dfrac{{A'B'}}{2}\)

Do đó  \(\dfrac{{IB'}}{{IA'}} = \dfrac{1}{3}\)

Mà  \(BE'//A'J\;\), \(B'L//AA'\) \( \Rightarrow \dfrac{{IL}}{{IA}} = \dfrac{{IE}}{{IJ}} = \dfrac{{IB'}}{{IA'}} = \dfrac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \dfrac{{IL}}{{IA}}.\dfrac{{IE}}{{IJ}}.\dfrac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}}\)

Do đó \({V_{I.ELB'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_0}\)

Tương tự  \({V_{J.MFD'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_0}\)

Gọi \(A'B' = a,B'C' = b\), đường cao hạ từ \(A\) xuống \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) là \(h\) thì \(IA' = \dfrac{3}{2}A'B' = \dfrac{{3a}}{2};\) \(A'J = \dfrac{3}{2}A'D' = \dfrac{{3b}}{2}\) và

\(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)\( = {S_{A'B'C'D'}}h = abh.\sin \widehat {B'A'D'}\);

\({V_0} = \dfrac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h\) \( = \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{3b}}{2}\sin \widehat {B'A'D'}} \right)h\) \( = \dfrac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_0}}}{V} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \dfrac{{3V}}{8}\)

Vậy  \({V_{(H)}} = {V_0} - \dfrac{2}{{27}}{V_0}\)\( = \dfrac{{25}}{{27}}{V_0} = \dfrac{{25}}{{27}}.\dfrac{{3V}}{8} = \dfrac{{25}}{{72}}V\)

\({V_{(H')}} = V - {V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{47}}{{72}}V\) \( \Rightarrow \dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \dfrac{{25}}{{47}}\).