Bài 1.10 trang 18 SBT hình học 12

Đề bài

Cho khối chóp tam giác đều \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), các cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^0}\). Hãy tính thể tích của khối chóp đó.

Lời giải chi tiết

Kẻ \(SH \bot (ABC)\). Đường thẳng \(AH\) cắt \(BC\) tại \(I\).

Do \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(H\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Do đó \(AI = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a,\)\(AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a,\)\(\widehat {SAH} = {60^0}\)

\(SH = AH.\tan {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a.\sqrt 3  = a\)

Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là:

\(V = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a.a.a = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{12}}{a^3}\).