Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng
a) ΔBIC ~ ΔEIF
b) \(F{B^2} = FI.FC\)
c) Cho biết AB = 6cm, BC = 3 cm. Tính EF
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh hai tam giác BIC và tam giác EIF có \(\widehat {IBC} = \widehat {IEF}{;^{}}\widehat {ICB} = \widehat {{\rm{IFE}}}\)(hai góc so le trong)
=> ΔBIC ~ ΔEIF (g.g)
b) Sử dụng các tỉ số đồng dạng của hai tam giác để chứng minh \(F{B^2} = FI.FC\)
c) Sử dụng EF là đường trung bình của tam giác ABC nên \({\rm{EF}} = \frac{1}{2}BC \Rightarrow {\rm{EF = }}\frac{3}{2}\)
Lời giải chi tiết
a) Vì tam giác ABC là tam giác cân
=> Hai đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến
=> EF là đường trung bình của tam giác ABC
=> EF // BC
=> \(\widehat {IBC} = \widehat {IEF}{;^{}}\widehat {ICB} = \widehat {{\rm{IFE}}}\)(hai góc so le trong)
=> ΔBIC ~ ΔEIF (g.g)
b) Vì tam giác ABC cân tại A
=> \(\widehat {ABE} = \widehat {EBC} = \widehat {ACF} = \widehat {FCB}\)
Xét tam giác FBI và tam giác FCB có góc F chung, $\widehat{FBI}=\widehat{FCB}
=> ΔFBI ~ ΔFCB (g.g)
=> \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{FI}}{{FB}}\)
=> \(F{B^2} = FI.FC\)
c) Có \({\rm{EF}} = \frac{1}{2}BC \Rightarrow {\rm{EF = }}\frac{3}{2}\)