Bài 10 trang 80 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.

Lời giải chi tiết

Đặt độ dài \(AB = a,\) \(BC = b,\) \( CD = c,\) \(AD = d\)

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(AC\) và \(BD\)

Trong \(∆OAB,\) ta có:

\(OA + OA > a\) (bất đẳng thức tam giác)\( (1)\)

Trong \(∆OCD\) ta có:

\(OC + OD > a\) (bất đẳng thức tam giác)\( (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\(OA + OB + OC + OD > a + c\)

Hay \(AC + BD > a + c  \;\;(*)\)

Trong \(∆OAD\) ta có: \(OA + OD > d\) (bất đẳng thức tam giác) \((3)\)

Trong \(∆OBC\) ta có: \(OB + OC > b\) (bất đẳng thức tam giác) \((4)\)

Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(OA + OD + OB + OC > b + d\)

\(⇒ AC + BD > b + d \;\;(**)\)

Từ \((*)\) và \((**)\) suy ra: \(2(AC + BD) > a + b + c + d\)

\(⇒ AC + BD > \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)

Trong \(∆ABC\) ta có: \(AC < AB + BC =  a + b\) (bất đẳng thức tam giác)

Trong \(∆ADC\) ta có: \(AC < AD + DC = c + d\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(2AC < a + b + c + d\)

\(AC < \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)   \((5)\)

Trong \(∆ABD\) ta có: \(BD < AB + AD = a + d\) (bất đẳng thức tam giác)

Trong \(∆BCD\) ta có: \(BD < BC + CD = b + c\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(2BD < a + b + c + d\)

\(BD < \displaystyle {{a + b + c + d} \over 2}\)   \((6)\)

Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra: \(AC + BD < a + b + c + d\)