Bài 1 trang 154 Vở bài tập toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BD, CE\) cắt nhau tại \(H\). Đường vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và đường vuông góc với \(AC\) tại \(C\) cắt nhau ở \(K\). Tam giác \(ABC\) phải có điều kiện gì thì tứ giác \(BHCK\) là:

a) Hình thoi?

b) Hình chữ nhật? 

Lời giải chi tiết

(h.112) 

Theo đề bài \(BD \bot AC,KC \bot AC\left( {h.112} \right)\) suy ra \(BD//KC\) hay \(BH//AC;CE \bot AB,KB \bot AB\) suy ra \(CE//KB\) hay \(CH//KB\)

Tứ giác \(BHCK\) có \(BH//KC,CH//KB\) nên là hình bình hành.

Gọi \(M\) là giao điểm của \(BC\) và \(HK.\)

a) Hình bình hành \(BHCK\) là hình thoi khi và chỉ khi \(HM \bot BC.\) Vì \(AH \bot BC\) nên \(HM \bot BC \Leftrightarrow A,M,H\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow AM \bot BC \Leftrightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A.\)

b) Hình bình hành \(BHCK\) là hình chữ nhật khi và chỉ khi \(\widehat {BKC} = {90^0}.\)

\(\widehat {BKC} = {90^0} \Leftrightarrow \widehat {BAC} = {90^0}\) (tứ giác \(ABKC\) đã có \(\widehat {ABK} = \widehat {ACK} = {90^0}\))

\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A.\)