Đề thi vào 10 môn Toán Hưng Yên năm 2020

Đề bài

Câu 1:  Tìm điều kiện xác định của biểu thức \(\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{x - 3}}}}\)

A. \(x \ne 3.\)                     B. \(x \ge 3.\)                          C. \(x\, > 3\).                          D. \(x < 3.\)

Câu 2:  Cho hàm số \(y = 3{x^2}.\) Kết luận nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến khi \(x < 0,\) nghịch biến khi \(x > 0.\)                                        

B. Hàm số luôn nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).          

C. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).                     

D. Hàm số nghịch biến khi \(x < 0\), đồng biến khi \(x > 0.\)

Câu 3:  Phương trình \(2x + 3y = 5\) nhận cặp số nào sau đây là một nghiệm?

A. \(\left( { - 1;1} \right)\).                                               B. \(\left( {1; - 1} \right)\).     C. \(\left( { - 1; - 1} \right)\).                             D. \(\left( {1;1} \right)\).

Câu 4:  Trong đường tròn \(\left( {O;\,4cm} \right)\), dây lớn nhất có độ dài bằng

A. \(10cm.\)                       B. \(8cm.\)                              C. \(4cm.\)                              D. \(6cm.\)

Câu 5:  Cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), đường cao \(MH\). Khẳng định nào sau đây đúng?

 

A. \(\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{M{N^2}}}.\dfrac{1}{{M{P^2}}}.\)                      B. \(\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{M{N^2}}} - \dfrac{1}{{M{P^2}}}.\)                

C. \(\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{M{N^2}}} + \dfrac{1}{{M{P^2}}}.\)                  D. \(\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{MN}} + \dfrac{1}{{MP}}.\)

Câu 6:  Cho hai đường tròn \(\left( {O;\,R} \right)\) và \(\left( {I;\,r} \right)\) với \(\left( {R > r} \right)\) tiếp xúc trong với nhau khi đó ta có:

A. \(OI = R - r\).               B. \(OI = R + r\).                   C. \(R - r < OI < R + r\).       D. \(OI > R + r\).

Câu 7:  Trong hình vẽ bên, \(\sin C\) bằng

 

A. \(\dfrac{{AC}}{{BC}}\).                                             B. \(\dfrac{{AC}}{{AB}}\).   C. \(\dfrac{{AB}}{{BC}}\).   D. \(\dfrac{{AB}}{{AC}}\).

Câu 8:  Tìm \(m\) và \(n\) để \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + my = 3\\nx + 2y = 5\end{array} \right..\)

A. \(m = 1;n = 1.\)             B. \(m = 1;n = 3.\)                  C. \(m =  - 1;n = 3.\)              D. \(m =  - 1;n = 1.\)

Câu 9: Có bao nhiêu tứ giác nội tiếp được đường tròn trong các hình vẽ dưới đây?

 

A. \(3.\)                              B. \(4.\)                                   C. \(1.\)                                   D. \(2.\)

Câu 10:  Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất?

A. \(y =  - 4x + 3.\)            B. \(y = 2 + \dfrac{1}{x}.\)    C. \(y = \sqrt x  + 3.\)            D. \(y = 2{x^2}.\)

Câu 11:  Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.

A. \(m \le 3.\)                     B. \(m \ge 3.\)                         C. \(m > 3.\)                           D. \(m < 3.\)

Câu 12:  Gọi \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y =  - 7\\x + 2y =  - 4\end{array} \right.\). Tính \(S = {x_0} + {y_0}.\)

A. \(S =  - 5.\)                    B. \(S =  - 1.\)                         C. \(S = 1.\)                            D. \(S = 5.\)

Câu 13:  Trong hình vẽ bên, với đường tròn \(\left( O \right)\) thì \(\angle ABC\) là

 

A. góc nội tiếp.                                                                 B. góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.          

C. góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.                        D. góc ở tâm.

Câu 14:  Tổng hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 5x - 7 = 0\) bằng

A. \( - 7\)                            B. \(5.\)                                   C. \(7.\)                                   D. \( - 5.\)

Câu 15:  Thể tích hình cầu có bán kính \(r = 5cm\) là

A. \(100\,\pi c{m^2}\).      B. \(25\pi c{m^2}.\)               C. \(\dfrac{{500\pi }}{3}c{m^2}.\)      D. \(\dfrac{{100\pi }}{3}c{m^2}.\)

Câu 16:  Tìm \(m\) để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x - 5\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

A. \(m >  - 2.\)                   B. \(m =  - 2.\)                        C. \(m \ne  - 2.\)                     D. \(m <  - 2.\)

Câu 17:  Trong các hình vẽ dưới đấy, hình nào vẽ góc có đỉnh bên trong đường tròn?

Lời giải chi tiết

 

 

Câu 1 - Căn bậc ba

Phương pháp:

- Biểu thức \(\dfrac{1}{A}\) xác định khi \(A \ne 0\).

- Biểu thức \(\sqrt[3]{A}\) xác định với mọi \(A\).

Cách giải:

Biểu thức \(\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{x - 3}}}}\) xác định khi và chỉ khi \(x - 3 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 3\).

Chọn A.

Câu 2 - Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Phương pháp:

Hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

- Nếu \(a > 0\) thì hàm số đồng biến khi \(x > 0\), nghịch biến khi \(x < 0\).

- Nếu \(a < 0\) thì hàm số đồng biến khi \(x < 0\), nghịch biến khi \(x > 0\).

Cách giải:

Hàm số \(y = 3{x^2}\) có \(a = 3 > 0\) nên hàm số nghịch biến khi \(x < 0\), đồng biến khi \(x > 0\).

Chọn D.

Câu 3 - Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Thay các cặp số ở các đáp án vào phương trình \(2x + 3y = 5\).

Cách giải:

- Đáp án A: \(2.\left( { - 1} \right) + 3.1 = 1 \ne 5\).

- Đáp án B: \(2.1 + 3.\left( { - 1} \right) =  - 1 \ne 5\).

- Đáp án C: \(2.\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 1} \right) =  - 5 \ne 5\).

- Đáp án D: \(2.1 + 3.1 = 5\).

Vậy cặp số \(\left( {1;1} \right)\) là một nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 5\).

Chọn D.

Câu 4 - Đường kính và dây của đường tròn

Phương pháp:

Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

Cách giải:

Đường tròn \(\left( {O;4cm} \right)\) có đường kính bằng \(8cm\).

Vì trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất nên dây lớn nhất của \(\left( {O;4cm} \right)\) bằng \(8cm\).

Chọn B.

Câu 5 - Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cách giải:

Xét tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\), đường cao \(MH\) ta có: \(\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{M{N^2}}} + \dfrac{1}{{M{P^2}}}\).

Vậy khẳng định C đúng.

Chọn C.

Câu 6 - Vị trí tương đối của hai đường tròn

Phương pháp:

Hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {I;r} \right)\) tiếp xúc trong khi và chỉ khi \(OI = \left| {R - r} \right|\).

Cách giải:

Hai đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {I;r} \right)\) (với \(R > r\)) tiếp xúc trong với nhau thì ta có \(OI = \left| {R - r} \right| = R - r\) (do \(R > r\)).

Chọn A.

Câu 7 - Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Phương pháp:

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: \(\sin  = \dfrac{{doi}}{{huyen}}\).

Cách giải:

Ta có: \(\sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}}\).

Chọn C.

Câu 8 - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Thay nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\) vào hệ phương trình và tìm \(m,\,\,n\).

Cách giải:

Vì \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2.1 + m.1 = 3\\n.1 + 2.1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + m = 3\\n + 2 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 3\end{array} \right.\).

Chọn B.

Câu 9 - Tứ giác nội tiếp

Phương pháp:

Sử dụng định lí:

- Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.

- Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.

Cách giải:

- Hình 1: Ta có: \(\angle ABC = \angle ADC = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle ABC + \angle ADC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

\( \Rightarrow ABCD\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)).

- Hình 2: Ta có: \(\angle QMN + \angle QPN = {70^0} + {110^0} = {180^0}\).

\( \Rightarrow MNPQ\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)).

- Hình 3: Ta có: \(\angle GKI = \angle IHx\).

  

\( \Rightarrow GHIK\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)).

- Hình 3: Ta có: \(\angle EFJ > {90^0},\,\,\angle ELJ = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle EFJ + \angle ELJ > {180^0}\).

\( \Rightarrow EFJL\) không là tứ giác nội tiếp.

Vậy có 3 tứ giác nội tiếp.

Chọn A.

Câu 10 - Hàm số bậc nhất

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Cách giải:

Hàm số \(y =  - 4x + 3\) là hàm số bậc nhất.

Chọn A.

Câu 11 - Phương trình bậc hai một ẩn số

Phương pháp:

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0\).

Cách giải:

Phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(1.\left( {m - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 3\).

Chọn D.

Câu 12 - Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Phương pháp:

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

- Xác định nghiệm của hệ phương trình, suy ra \({x_0},\,\,{y_0}\) và tính \(S = {x_0} + {y_0}\).

Cách giải:

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y =  - 7\\x + 2y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\x + 2y =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\x + 2.\left( { - 3} \right) =  - 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\x - 6 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 3\\x = 2\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left( {2; - 3} \right)\) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho.

\( \Rightarrow {x_0} = 2,\,\,{y_0} =  - 3\).

Vậy \(S = {x_0} + {y_0} = 2 + \left( { - 3} \right) =  - 1\).

Chọn B.

Câu 13 - Góc nội tiếp

Phương pháp:

Góc nội tiếp là góc của đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Cách giải:

Ta thấy: \(\angle ABC\) là góc có đỉnh \(B\) nằm trên đường tròn, hai cạnh của góc chứa hai dây cung \(BA,\,\,BC\) của đường tròn. Do đó \(\angle ABC\) là góc nội tiếp của đường tròn \(\left( O \right)\).

Chọn A.

Câu 14 - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Phương pháp:

Sử dụng định lí Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thì \({x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\).

Cách giải:

Phương trình \({x^2} - 5x - 7 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu (do \(ac =  - 7 < 0\)).

Áp dụng định lí Vi-et ta có: Tổng hai nghiệm của phương trình bằng \(\dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{ - \left( { - 5} \right)}}{1} = 5\).

Chọn B.

Câu 15 - Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu

Phương pháp:

Thể tích khối cầu bán kính \(r\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {r^3}\).

Cách giải:

Thể tích khối cầu có bán kính \(r = 5\,\,cm\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {.5^3} = \dfrac{{500\pi }}{3}\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Chọn C.

Câu 16 - Hàm số bậc nhất

Phương pháp:

Cho hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\):

- Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a > 0\).

- Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a < 0\).

Cách giải:

Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right)x - 5\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m + 2 > 0 \Leftrightarrow m >  - 2\).

Chọn A.

Câu 17 - Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Phương pháp:

Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn, hai cạnh của góc chứa hai dây cung của đường tròn đó.

Cách giải:

Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn là hình 3.

Chọn D.

Câu 18 - Hình trụ - Diện tích xung quanh và thể tích của Hình trụ

Phương pháp:

Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \({S_{xq}} = 2\pi rh\).

Cách giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \({S_{xq}} = 2\pi rh\).

Chọn C.

Câu 19 - Hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Phương pháp:

Thay \(x = 3\) vào hàm số để tính giá trị của hàm số tại \(x = 3\).

Cách giải:

Thay \(x = 3\) vào hàm số \(y = 2{x^2}\) ta có: \(y = {2.3^2} = 18\).

Vậy giá trị của hàm số \(y = 2{x^2}\) tại \(x = 3\) là \(18\).

Chọn C.

Câu 20 - Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^(2)=|A|

Phương pháp:

- Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

- Phá trị tuyệt đối: \(\left| A \right| = \left[ \begin{array}{l}\,\,A\,\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{a - b}}.\sqrt {{4^2}{{\left( {a - b} \right)}^2}} \\ = \dfrac{1}{{a - b}}.4\left| {a - b} \right|\\ = \dfrac{1}{{a - b}}.4\left( {a - b} \right)\,\,\,\left( {Do\,\,a > b \Rightarrow a - b > 0} \right)\\ = 4.\end{array}\)

Chọn B.

Câu 21 - Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Phương pháp:

Sử dụng định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Cách giải:

Vì \(\angle AED\) là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên

\(\begin{array}{l}\angle AED = \dfrac{{sd\,cung\,AmD - sd\,cung\,CnB}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{110}^0} - {{40}^0}}}{2} = \dfrac{{{{70}^0}}}{2} = {35^0}\end{array}\) 

Chọn C.

Câu 22 - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Phương pháp:

Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm, áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).

Cách giải:

Vì \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x - 2 = 0\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - \left( { - 2} \right)}}{1} = 2\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - 2}}{1} =  - 2\end{array} \right.\).

Vậy \(T = {x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2} = 2 + 2.\left( { - 2} \right) =  - 2\). 

Chọn C.

Câu 23 – Góc nội tiếp

Phương pháp:

Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Cách giải:

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle DAC = \angle DBC = {80^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD\))

Chọn D.

Câu 24 - Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^(2)=|A|

Phương pháp:

Biểu thức \(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định \( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0.\)

Cách giải:

Biểu thức \(\sqrt {x - 2} \) xác định \( \Leftrightarrow x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.\)

Chọn A.

Câu 25 - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y = {c_2}\end{array} \right.\) có vô số nghiệm \( \Leftrightarrow \dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}.\)

Cách giải:

Xét đáp án C: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 5\\6x - 4y = 10\end{array} \right.\) ta có: \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 4}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Chọn C.

Câu 26 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Phương pháp:

Giải phương trình: \(\sqrt {f\left( x \right)}  = a\,\,\left( {a \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {a^2}\end{array} \right..\)

Cách giải:

\(\sqrt {3 + \sqrt x }  = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\3 + \sqrt x  = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x  = 13\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = 169\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 169\)

Vậy \(x = 169.\)

Chọn C.

Câu 27 - Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Phương pháp:

Có một và chỉ một đường tròn đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng.

Cách giải:

Có một và chỉ một đường tròn đi qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng.

Chọn B.

Câu 28 - Đồ thị hàm số y = ax^2 (a ≠ 0)

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm \(M\) vào hàm số đã cho để tìm \(a.\)

Cách giải:

Thay tọa độ điểm \(M\left( { - 1;\,\,2} \right)\) vào hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) ta được: \(2 = a.{\left( { - 1} \right)^2} \Leftrightarrow a = 2\,\,\left( {tm} \right).\)

Vậy \(a = 2.\)

Chọn B.

Câu 29 - Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Phương pháp:

Sử dụng các công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Cách giải:

Ta có các công thức: \(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\) \(\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }};\) \(\tan \alpha .\cot \alpha  = 1;\) \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\)

Vậy chỉ có đáp án A sai.

Chọn A.

Câu 30 - Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt

Phương pháp:

Thể tích của hình nón có bán kính đáy \(R\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h.\)

Cách giải:

Thể tích của hình nón đã cho là: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {.3^2}.5 = 15\pi \,\,c{m^3}.\)

Chọn C.

Câu 31 - Hàm số bậc nhất

Phương pháp:

Hàm số \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(a < 0.\)

Cách giải:

Trong các đáp án, chỉ có hàm số \(y =  - 3x + 5\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}.\)

Chọn B.

Câu 32 - Công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp:

Phương trình \(a{x^2} + 2b'x + c = 0\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có: \(\Delta ' = b{'^2} - ac.\)

Cách giải:

Phương trình \(3{x^2} - 2mx - 1 = 0\) có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {m^2} + 3.\)

Chọn A.

Câu 33 - Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp:

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: \(ax + by = c\,\,\,\left( {ab \ne 0} \right).\)

Cách giải:

Trong các đáp án, chỉ có phương trình \(2x - 5y = 3\) là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chọn A.

Câu 34 - Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau

Phương pháp:

Hai đường thẳng \({d_1}:\,\,\,y = {a_1}x + {b_1}\) và \({d_2}:\,\,\,y = {a_2}x + {b_2}\) song song với nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {b_2}\end{array} \right..\)

Cách giải:

Đường thẳng song song với đường thẳng \(y =  - 2x + 3\) có dạng: \(y =  - 2x + b\,\,\,\,\left( {b \ne 3} \right).\)

\( \Rightarrow \) Chỉ có đáp án A: \(y =  - 2x + 7\) thỏa mãn.

Chọn A.

Câu 35 - Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức √A^(2)=|A|

Phương pháp:

Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,\,B \ge 0.\)

Cách giải:

Ta có: \(A = 3\sqrt {80}  - 2\sqrt {20} \) \( = 3\sqrt {{4^2}.5}  - 2\sqrt {{2^2}.5} \)\( = 3.4\sqrt 5  - 2.2\sqrt 5  = 8\sqrt 5 \)

Chọn B.

Câu 36 - Bất đẳng thức

Phương pháp:

Áp dụng BĐT Cô-si với 3 số thực không âm \(a,\,\,b,\,\,c\): \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = 2{a^2} + {b^2} + \dfrac{4}{a} + \dfrac{{54}}{b}\\S = \left( {2{a^2} + \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{a}} \right) + \left( {{b^2} + \dfrac{{27}}{b} + \dfrac{{27}}{b}} \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}2{a^2} + \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{a} \ge 3\sqrt[3]{{2{a^2}.\dfrac{2}{a}.\dfrac{2}{a}}} = 6\\{b^2} + \dfrac{{27}}{b} + \dfrac{{27}}{b} \ge 3\sqrt[3]{{{b^2}.\dfrac{{27}}{b}.\dfrac{{27}}{b}}} = 27\end{array}\)

Khi đó ta có \(S \ge 6 + 27 = 33\).

\( \Rightarrow {S_{\min }} = 33\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{a^2} = \dfrac{2}{a}\\{b^2} = \dfrac{{27}}{b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^3} = 1\\{b^3} = 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 3\end{array} \right.\).

Vậy khi đó \(T = a + 2b = 1 + 2.3 = 7\).

Chọn A.

Câu 37 - Ôn tập chương 3: Hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số để tìm \(x,\,\,y.\)

Sau đó giải hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.\) để tìm \(m.\)

Cách giải:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3m\\x - y =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 3m - 9\\y = x + 9\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - 3\\y = m - 3 + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = m - 3\\y = m + 6\end{array} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;\,\,y} \right)\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 > 0\\m + 6 > 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 3\\m >  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3.\)

Chọn C.

Câu 38 - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phương pháp:

Biến đổi biểu thức trong dấu căn bậc hai để tìm GTNN của biểu thức.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = 4 + \sqrt {3{x^2} - 6x + 7} \\\,\,\,\,\, = 4 + \sqrt {3\left( {{x^2} - 2x} \right) + 7} \\\,\,\,\,\, = 4 + \sqrt {3\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 4} \\\,\,\,\,\,\, = 4 + \sqrt {3{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4} \end{array}\)

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x \Rightarrow 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x\) \( \Rightarrow 3{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\,\,\forall x\)\( \Rightarrow \sqrt {3{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}  \ge 2\,\,\forall x\)

\( \Rightarrow y = 4 + \sqrt {3{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 4}  \ge 4 + 2 = 6\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.\)

Vậy \(Min\,\,y = 6\) khi \(x = 1.\)

Chọn C.

Câu 39 - Hình cầu - Diện tích mặt cầu và thể tích mặt cầu

Phương pháp:

Diện tích đường tròn bán kính \(R\) là: \(S = \pi {R^2}.\)

Diện tích phần bồn cây tăng thêm là: \(S = \pi {R^2} - \pi {r^2}.\)

Cách giải:

Diện tích của bồn cây ban đầu là: \({S_1} = \pi {r^2} = \pi \,\,\left( {{m^2}} \right).\)

Bán kính của bồn cây sau khi mở rộng là: \(R = 1 + 0,6 = 1,6\,\,m.\)

Diện tích của bồn cây sau khi mở rộng là: \({S_2} = \pi {R^2} = \pi .1,{6^2}\,\,\left( {{m^2}} \right).\)

\( \Rightarrow \) Diện tích của phần bồn cây mở rộng thêm là: \(S = \pi .1,{6^2} - \pi  = \left( {1,{6^2} - 1} \right).3,14 \approx 4,9\,\,{m^2}.\)

Chọn D.

Câu 40 - Ôn tập tổng hợp chương 2, 3, 4 - Đại số

Phương pháp:

- Cho lần lượt \(x = 0,\,\,y = 0\) tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng với các trục \(Ox,\,\,Oy\).

- Sử dụng công thức \(A\left( {a;0} \right) \Rightarrow OA = \left| a \right|,\,\,B\left( {0;b} \right) \Rightarrow OB = \left| b \right|\).

- Tính diện tích tam giác vuông \(OAB:\,\,{S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB\).

Cách giải:

Gọi \(A = d \cap Ox\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\).

\( \Rightarrow A\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow OA = \left| { - 2} \right| = 2\).

Gọi \(B = d \cap Oy\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 2.0 + 4 = 4\).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) nên \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}.2.4 = 4\).

Chọn C.

Câu 41 - Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Phương pháp:

- Đưa hàm số về dạng phương trình bậc nhất ẩn \(m\): \(Am + B = 0\), tìm điều kiện để phương trình nghiệm đúng \(A = B = 0\), từ đó xác định điểm cố định \(M\) mà đường thẳng \(d\) đi qua.

- Sử dụng định lí đường vuông góc và đường xiên, chứng minh \(d\left( {O;d} \right) \le OM\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow OM \bot d\).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + 4m\\ \Leftrightarrow mx - x + 4m - y = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)m - x - y = 0\end{array}\)

Phương trình trên đúng với mọi \(m\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\ - x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 4\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( {4; - 4} \right)\,\,\forall m\).

 

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \(d\), ta có \(d\left( {O;d} \right) = OH \le OM\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Do đó khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\) đạt GTLN khi và chỉ khi

\(d\left( {O;d} \right) = OM = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 0} \right)}^2}}  = 4\sqrt 2 \).

Chọn C.

Câu 42 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Phương pháp:

Gọi giá tiền thùng hàng A là \(x\) (nghìn đồng) (ĐK: \(x > 0\))

       giá tiền thùng hàng B là \(y\) (nghìn đồng) (ĐK: \(y > 0\)).

- Tính giá tiền thùng hàng A sau khi tăng giá 20% và tiền thùng hàng B sau khi tăng giá 30%, dựa vào dữ kiện thùng A tăng giá 20% và thùng B tăng giá 30% thì người đó phải trả 302 nghìn đồng lập phương trình.

- Tương tự dựa vào dữ kiện thùng A giảm giá 10% và thùng B giảm giá 20% thì người đó phải trả 202 nghìn đồng để lập phương trình thứ hai.

- Suy ra hệ phương trình. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Đối chiếu điều kiện và kết luận.

Cách giải:

Gọi giá tiền thùng hàng A là \(x\) (nghìn đồng) (ĐK: \(x > 0\))

       giá tiền thùng hàng B là \(y\) (nghìn đồng) (ĐK: \(y > 0\)).

Giá tiền thùng hàng A sau khi tăng giá 20% là \(x + 20\% x = 1,2x\) (nghìn đồng).

Giá tiền thùng hàng B sau khi tăng giá 30% là \(y + 30\% y = 1,3y\) (nghìn đồng).

Vì thùng A tăng giá 20% và thùng B tăng giá 30% thì người đó phải trả 302 nghìn đồng nên ta có phương trình: \(1,2x + 1,3y = 302\).

Tương tự: khi thùng A giảm giá 10% và thùng B giảm giá 20% thì người đó phải trả 202 nghìn đồng nên ta có phương trình \(0,9x + 0,8y = 202\).

Khi đó ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}1,2x + 1,3y = 302\\0,9x + 0,8y = 202\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12x + 13y = 3020\\9x + 8y = 2020\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36x + 39y = 9060\\36x + 32y = 8080\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7y = 980\\9x + 8y = 2020\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 140\,\,\,\left( {tm} \right)\\9x + 8.140 = 2020\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 140\\x = 100\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy giá tiền thùng hàng A là 100 nghìn đồng, giá tiền thùng hàng B là 140 nghìn đồng.

Chọn B.

Câu 43 - Ôn tập chương 1: Căn bậc hai. Căn bậc ba

Phương pháp:

- Đánh giá, chặn khoảng giá trị của biểu thức A.

- Tìm các giá trị nguyên của A trong khoảng hoặc đoạn bị chặn, từ đó tìm \(x\) và đối chiếu điều kiện.

Cách giải:

Với \(x \ge 0\), ta có: \(A = \dfrac{{4\sqrt x  + 16}}{{\sqrt x  + 2}} = \dfrac{{4\left( {\sqrt x  + 2} \right) + 8}}{{\sqrt x  + 2}} = 4 + \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}}\).

Vì \(\sqrt x  + 2 \ge 2\) nên \(\dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} \le 4\) \( \Rightarrow A = 4 + \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} \le 8\).

Lại có \(\dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} > 0\) nên \(A = 4 + \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} > 4\).

\( \Rightarrow 4 < A \le 8\).

Mà \(A\) nhận giá trị nguyên \( \Rightarrow A \in \left\{ {5;6;7;8} \right\}\) \( \Rightarrow \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\).

Ta có bảng sau:

Vậy có 4 giá trị của \(x\) để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Chọn B.

Chú ý khi giải: Nhiều học sinh có cách giải sai lầm như sau:

Để \(A = 4 + \dfrac{8}{{\sqrt x  + 2}} \in \mathbb{Z}\) thi \(\sqrt x  + 2 \in \) Ư(8) \( = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8} \right\}\).

Do \(\sqrt x  + 2 \ge 2\) \( \Rightarrow \sqrt x  + 2 \in \left\{ {2;4;8} \right\}\) \( \Rightarrow \sqrt x  \in \left\{ {0;2;6} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {0;4;36} \right\}\).

Cách giải này sai do \(x\) không hẳn là số nguyên.

Câu 44 - Vị trí tương đối của hai đường tròn

Phương pháp:

- Tính độ dài \(CD\).

- Sử dụng định lí đường trung bình của hình thang, chứng minh \(E\) là trung điểm của \(HD\), từ đó tính độ dài \(HC\), từ đó áp dụng định lí Pytago tính \(O'H\).

- Chứng minh \(O',\,\,H,\,\,F\) thẳng hàng, sử dụng quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung và tiên đề Ơ-clit.

- Tính \(HF = O'F - O'H\).

Cách giải:

 

Vì \(CD\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(\angle ODC = {90^0}\) \( \Rightarrow \Delta OCD\) vuông tại \(D\).

Ta có \(OB = \dfrac{1}{2}AB = 9\) \( \Rightarrow OC = OB + BC = 9 + 18 = 27\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OCD\) ta có:

\(\begin{array}{l}C{D^2} = O{C^2} - O{D^2}\\C{D^2} = {27^2} - {9^2}\\C{D^2} = 648\\ \Rightarrow CD = 18\sqrt 2 \end{array}\)

Vì \(AB = BC = 18 \Rightarrow OB = O'B = 9\)