Đề thi học kì 2 môn toán lớp 7 năm 2019 - 2020 trường THCS Dịch Vọng

Đề bài

PHẦN TRẮC NGHIỆM (2 điểm) Chọn phương án đúng.

Câu 1 : Đơn thức nào sau đây đồng dạng với đơn thức \( - 3x{y^2}?\)

A. \( - 3{x^2}y\)               B. \(\left( { - 3xy} \right)y\)          

C.  \( - 3{\left( {xy} \right)^2}\)             D. \( - 3xy\)

Câu 2 : Giá trị \(x = 2\) là nghiệm của đa thức nào sau đây ?

A. \(f\left( x \right) = 2 + x\)               B. \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\)          

C.  \(f\left( x \right) = x - 2\)             D. \(f\left( x \right) = x\left( {x + 2} \right)\)

Câu 3 : Nếu \(AM\) là đường trung tuyến và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) thì :

A. \(GM = \dfrac{1}{3}AG\)               B. \(AM = \dfrac{2}{3}AG\)          

C.  \(AG = \dfrac{1}{3}AM\)             D. \(GM = \dfrac{1}{3}AM\)

Câu 4 : Bộ ba đoạn thẳng nào sau đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác :

A. \(2cm;3cm;5cm\)               B. \(7cm;9cm;10cm\)          

C.  \(2cm;7cm;11cm\)             D. \(3cm;3cm;7cm\)

PHẦN TỰ LUẬN (8 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm) : Cho đa thức \(f\left( x \right) =  - 2{x^3} + x - 1 + 4{x^2} - 5x + 3{x^3}\)

a) Thu gọn và sắp xếp đa thức \(f\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến

b) Tìm hệ số tự do và bậc của đa thức \(f\left( x \right).\)

Bài 2 (1,5 điểm) : Cho hai đa thức \(A\left( x \right) = 2{x^2} - 5x + 3\) và \(B\left( x \right) = {x^2} + 4x - 2\)

a) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right)\)

b) Tính \(A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

c) Chứng tỏ \(x = 1\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right).\)

Bài 3 (1,5 điểm) : Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau :

a) \(3x - \dfrac{2}{5}\)

b) \(\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 8} \right)\)

Bài 4 (3,5 điểm) : Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) vẽ trung tuyến \(AM.\) Từ \(M\) kẻ \(ME\) vuông góc với \(AB\) tại \(E,\) kẻ \(MF\) vuông góc với \(AC\) tại \(F\)

a) Chứng minh \(\Delta BEM = \Delta CFM\)

b) Chứng minh \(AM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(EF\)

c) Chứng minh \(EF//BC\)

d) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại B, từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C, hai đường thẳng này cắt nhau ở D. Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Bài 5 (0,5 điểm) : Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.

Biết \(13a + b + 2c = 0,\) chứng tỏ rằng : \(f\left( { - 2} \right).f\left( 3 \right) \le 0\).

HẾT

---

Đ/a TN

 Câu 1 :

Phương pháp : 

Sử dụng :  Hai đơn thức đồng dạng với nhau nếu chúng phần hệ số khác \(0\) và có cùng phần biến

Cách giải:

Ta có \(\left( { - 3xy} \right)y =  - 3xy.y\) \( =  - 3x{y^2}\) nên đơn thức \( - 3x{y^2}\) đồng dạng với đơn thức \(\left( { - 3xy} \right)y\)

Chọn B

Câu 2 :

Phương pháp :

Sử dụng :  Số \({x_0}\) là nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) nếu \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\)

Cách giải:

Thay \({x_0} = 2\) vào \(f\left( x \right) = 2 + x\) ta được \(f\left( 2 \right) = 2 + 2\)\( = 4 \ne 0\)

Thay \({x_0} = 2\) vào \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\) ta được \(f\left( 2 \right) = {2^2} - 2\)\( = 2 \ne 0\)

Thay \({x_0} = 2\) vào \(f\left( x \right) = x - 2\) ta được \(f\left( 2 \right) = 2 - 2\)\( = 0\)

Thay \({x_0} = 2\) vào \(f\left( x \right) = x\left( {x + 2} \right)\) ta được \(f\left( 2 \right) = 2\left( {2 + 2} \right)\)\( = 8 \ne 0\)

Vậy \(x = 2\) là nghiệm của đa thức \(f\left( x \right) = x - 2\)

Chọn C

Câu 3 :

Phương pháp :

Sử dụng :  Trong tam giác, trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó.

Cách giải:

Vì \(AM\) là đường trung tuyến và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)

Suy ra \(GM = \dfrac{1}{3}AM\).

Chọn A

Câu 4:

Phương pháp :

Sử dụng bất đẳng thức tam giác : Tam giác có ba cạnh có độ dài \(a,b,c\) thì \(b - c < a < b + c\)

Cách giải:

Ta thấy bộ ba số \(7cm;9cm;10cm\) có \(9 - 7 < 10 < 9 + 7\) \(\left( {2 < 10 < 16} \right)\) thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba số \(7cm;9cm;10cm\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Đáp án A sai vì \(2 + 3 = 5\)

Đáp án C sai vì \(2 + 7 < 11\)

Đáp án D sai vì \(3 + 3 < 7\)

Chọn B

---

LG bài 1

Phương pháp giải:

a) Thu gọn các đơn thức đồng dạng rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

b) Hệ số tự do là hệ số của lũy thừa bậc 0 của biến

Bậc của đa thức một biến (khác 0, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó

Lời giải chi tiết:

a) \(f\left( x \right) =  - 2{x^3} + x - 1 + 4{x^2} - 5x + 3{x^3}\)

\( = \left( { - 2{x^3} + 3{x^3}} \right) + \left( {x - 5x} \right)\) \( - 1 + 4{x^2}\)

\( = {x^3} - 4x - 1 + 4{x^2}\) 

Ta sắp xếp như sau : \(f\left( x \right) = {x^3} + 4{x^2} - 4x - 1\)

b) Hệ số tự do là : \( - 1\)

Bậc của đa thức là : \(3\)

---

LG bài 2

Phương pháp giải:

a) b) Đặt phép tính theo hàng ngang (hoặc hàng dọc) rồi cộng trừ các đơn thức đồng dạng (nếu có)

c) Số \(x = {x_0}\) là nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\) nếu \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) \(A\left( x \right) + B\left( x \right)\)

\( = 2{x^2} - 5x + 3\)\( + \left( {{x^2} + 4x - 2} \right)\)

\( = 2{x^2} - 5x + 3\)\( + {x^2} + 4x - 2\)

\( = \left( {2{x^2} + {x^2}} \right) + \left( { - 5x + 4x} \right)\) \( + \left( {3 - 2} \right)\)

\( = 3{x^2} - x + 1\)

Vậy \(A\left( x \right) + B\left( x \right)\)\( = 3{x^2} - x + 1\)

b) \(A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

\( = 2{x^2} - 5x + 3\)\( - \left( {{x^2} + 4x - 2} \right)\)

\( = 2{x^2} - 5x + 3\)\( - {x^2} - 4x + 2\)

\( = \left( {2{x^2} - {x^2}} \right) + \left( { - 5x - 4x} \right)\) \( + \left( {3 + 2} \right)\)

\( = {x^2} - 9x + 5\)

Vậy \(A\left( x \right) - B\left( x \right)\)\( = {x^2} - 9x + 5\)

c) Thay \(x = 1\) vào đa thức \(A\left( x \right)\) ta được :

\(A\left( 1 \right) = {2.1^2} - 5.1 + 3\) \( = 2 - 5 + 3\) \( =  - 3 + 3 = 0\)

Vậy \(x = 1\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right).\)

---

LG bài 3

Phương pháp giải:

Sử dụng :  Để tìm nghiệm của đa thức \(f\left( x \right)\), ta tìm \(x = {x_0}\) thỏa mãn \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) Xét \(3x - \dfrac{2}{5} = 0\)

\(\begin{array}{l}3x = \dfrac{2}{5}\\x = \dfrac{2}{5}:3\\x = \dfrac{2}{5}.\dfrac{1}{3}\\x = \dfrac{2}{{15}}\end{array}\)

Vậy \(x = \dfrac{2}{{15}}\) là nghiệm của đa thức \(3x - \dfrac{2}{5}\)

b) Xét \(\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 8} \right) = 0\)

TH1 : \(x - 3 = 0\)

\(x = 3\)

TH2 : \(2x + 8 = 0\)

\(\begin{array}{l}2x =  - 8\\x =  - 8:2\\x =  - 4\end{array}\)

Vậy \(x = 3;x =  - 4\) là nghiệm của đa thức \(\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 8} \right)\)

---

LG bài 4

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn.

b) Gọi H là giao điểm của AM và EF.

Chứng minh AH vuông góc với EF và \(AH \bot EF\) bằng cách xét hai tam giác \(\Delta AEH\) và \(\Delta AFH\) 

c) Sử dụng định lý từ vuông góc đến song song: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song.

d) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta ACD\left( {ch - cgv} \right)\) suy ra D nằm trên đường phân giác của góc A.

Lời giải chi tiết:

a) AM là trung tuyến của tam giác ABC nên MB = MC

Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat B = \widehat C\).

\(ME \bot AB\) tại E nên \(\widehat {BEM} = {90^0}\)

\(MF \bot AB\) tại F nên \(\widehat {CFM} = {90^0}\)

Xét tam giác BEM và tam giác CFM có:

\(\begin{array}{l}\widehat {BEM} = \widehat {CFM}\left( { = {{90}^0}} \right)\\BM = CM\left( {cmt} \right)\\\widehat B = \widehat C\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BEM = \Delta CFM\left( {ch - gn} \right)\end{array}\)

b)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(AM\) với \(EF\). 

Tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến của tam giác nên cũng là đường phân giác

\( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)

Theo câu a, \(\Delta BEM = \Delta CFM \Rightarrow BE = CM\) (cạnh tương ứng)

\(\begin{array}{l}AB = AC;BE = CF\\ \Rightarrow AB - BE = AC - CF\\ \Rightarrow AE = AF\end{array}\)

Xét \(\Delta AEH\) và \(\Delta AFH\) có:

\(\begin{array}{l}AE = AF\left( {cmt} \right)\\\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\left( {cmt} \right)\\AH\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta AEH = \Delta AFH\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow HE = HF\) (cạnh tương ứng)  (1)

\(\widehat {AHE} = \widehat {AHF}\) (góc tương ứng)

Mà

\(\begin{array}{l}\widehat {AHE} + \widehat {AHF} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {AHE} + \widehat {AHE} = {180^0}\\ \Rightarrow 2\widehat {AHE} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {AHE} = {90^0}\\ \Rightarrow AH \bot EF\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\) là đường trung trực của EF. (đpcm)

c)

Từ câu b) ta có \(AM \bot EF\).

Tam giác ABC cân tại A nên AM là đường trung tuyến cũng là đường cao hay \(AM \bot BC\)

Vậy \(EF//BC\) (từ vuông góc đến song song)

d)

\(BD \bot AB \Rightarrow \widehat {ABD} = {90^0}\)

\(AC \bot CD \Rightarrow \widehat {ACD} = {90^0}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = {90^0}\)

\(AB = AC\left( {gt} \right)\)

\(AD\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\left( {ch - cgv} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAD}\) (góc tương ứng)

\( \Rightarrow D\) nằm trên đường phân giác của góc \(A\).

Mà \(M\) cũng nằm trên đường phân giác của góc \(A\).

Vậy ba điểm \(A,D,M\) thẳng hàng (đpcm). 

---

LG bài 5

Phương pháp giải:

- Tính \(f\left( { - 2} \right)\) và \(f\left( 3 \right)\).

- Tính \(f\left( { - 2} \right) + f\left( 3 \right)\) và nhận xét hai giá trị \(f\left( { - 2} \right)\) và \(f\left( 3 \right)\).

- Từ đó suy ra tích hai giá trị này.

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + c\\ = 4a - 2b + c\\f\left( 3 \right) = a{.3^2} + b.3 + c\\ = 9a + 3b + c\\ \Rightarrow f\left( { - 2} \right) + f\left( 3 \right)\\ = \left( {4a - 2b + c} \right) + \left( {9a + 3b + c} \right)\\ = 4a - 2b + c + 9a + 3b + c\\ = 13a + b + 2c = 0\\ \Rightarrow f\left( { - 2} \right) + f\left( 3 \right) = 0\\ \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = 0 - f\left( 3 \right)\\ \Rightarrow f\left( { - 2} \right) =  - f\left( 3 \right)\\ \Rightarrow f\left( { - 2} \right).f\left( 3 \right) = \left[ { - f\left( 3 \right)} \right].f\left( 3 \right)\\ =  - {\left[ {f\left( 3 \right)} \right]^2}\end{array}\)

Vì \({\left[ {f\left( 3 \right)} \right]^2} \ge 0\) nên \( - {\left[ {f\left( 3 \right)} \right]^2} \le 0\)

Vậy \(f\left( { - 2} \right).f\left( 3 \right) \le 0\) (đpcm). 

HẾT