Đề thi học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 5

Đề bài

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

Câu 1: Mệnh đề nào sau đây sai?

     A. Tam giác có hai góc bằng nhau thì góc thứ ba bằng nhau

     B. Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

     C. Tam giác có ba cạnh bằng nhau thì có ba góc bằng nhau

     D. Hai tam giác có diện bằng nhau thì bằng nhau.

Câu 2: Cho mệnh đề P(x): “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 > 0\)”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) là

     A. “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 < 0\)”.                                      B. “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 \le 0\)”.

     C. “\(\exists x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 \le 0\)”.                                    D. “\(\exists x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 > 0\)”.

 Câu 3: Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|\frac{{{x^2} + 2}}{x} \in \mathbb{Z}} \right\}\). Hãy xác định tập \(A\) bằng cách liệt kê các phần tử.

     A. \(A = \left\{ { - 2;;0;1;2} \right\}\)                         B. \(A = \left\{ { - 2; - 1;0;2} \right\}\)     C. \(A = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}\)                                           D. \(A = \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\)

 Câu 4: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng:

     A. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| x \right| < 1} \right\}\)                                      B. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|6{x^2} - 7x + 1 = 0} \right\}\)                     C. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}|{x^2} - 4x + 2 = 0} \right\}\)                                 D. \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|{x^2} - 4x + 3 = 0} \right\}\)

 Câu 5: Cho hai tập hợp \(A = \left( { - \infty ;2} \right]\) và \(B = \left( { - 3;5} \right]\). Tìm mệnh đề sai.

     A. \(A \cap B = \left( { - 3;2} \right].\)                       B. \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right)\).     C. \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\).               D. \(B\backslash A = \left( {2;5} \right]\).

Câu 6: Cho tập hợp: \(B = \left\{ {x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}.\) Số tập hợp con của tập hợp \(B\) là

     A. 29                                  B. 30                                  C. 31                                  D. 32

 Câu 7: Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} = 2\)” khẳng định rằng:

     A. Bình phương của mỗi số thực bằng 2.  

     B. Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2.  

     C. Chỉ có một số thực mà bình phương của nó bằng 2.  

     D. Nếu x là một số thực thì \({x^2} = 2\).

 Câu 8: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?

     A. \(2{x^2} + 3y > 0\)       B. \({x^2} + {y^2} < 2\)    C. \(x + {y^2} \ge 0\)        D. \(x + y \ge 0\)

Câu 9: Miền nghiệm của bất phương trình \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)y \ge 2\) chứa điểm nào sau đây?

     A. A(1;-1)                          B. B(-1;-1)                         C. C(-1;1)                          D. \(D\left( { - \sqrt 3 ;\sqrt 3 } \right)\)

Câu 10: (ID: 590544) Trong tam giác EFG, chọn mệnh đề đúng.

     A. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos G.\)                                       B. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} + 2EG.FG.\cos E.\)

     C. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos E.\)                                         D. \(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G.\)

Câu 11: (ID: 590545) Cho tam giác ABC biết \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \sqrt 3 \) và \(AB = 2\sqrt 2 \). Tính AC.

     A. \(2\sqrt 3 .\)                  B. \(2\sqrt 5 .\)                  C. \(2\sqrt 2 .\)                  D. \[2\sqrt 6 .\]

Câu 12: (ID: 590546) Cho tam giác ABC có b = 7, c = 5, \(\cos A = \frac{3}{5}.\) Độ dài đường cao \({h_a}\) của tam giác ABC là:

     A. \(8.\)                              B. \(8\sqrt 3 .\)                  C. \(\frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\)           D. \(7\sqrt 2 .\)

Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?

     A. Nếu số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9 thì số tự nhiên n chia hết cho 3. 

     B. Nếu x > y thì \({x^2} > {y^2}\).

     C. Nếu x = y thì t.x = t.y. 

     D. Nếu x > y thì \({x^3} > {y^3}\).

 Câu 14: Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 5y - 1 > 0}\\{2x + y + 5 > 0}\\{x + y + 1 < 0}\end{array}} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

     A. \(O\left( {0;0} \right)\) B. \(M\left( {1;0} \right)\)                                           C. \(N\left( {0; - 2} \right)\)     D. \(P\left( {0;2} \right)\)

Câu 15: Giá trị của biểu thức \(B = 4{a^2}{\sin ^2}{45^0} - 3{\left( {a\tan {{45}^0}} \right)^2} + {\left( {2a\cos {{45}^0}} \right)^2}\) với \(a = 1\) là:

     A. 3.                                   B. \( - \frac{1}{2}\).           C. \(\frac{1}{2}\)               D. 1.

Câu 16: Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a.

     A. \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)                                    B. \(r = \frac{{a\sqrt 2 }}{5}\)      C. \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)            D. \(r = \frac{{a\sqrt 5 }}{7}\)

Câu 17: Tam giác ABC có \(AB = \sqrt 2 ,\,\,AC = \sqrt 3 \) và \(C = {45^0}\). Tính độ dài cạnh BC.

     A. \(BC = \sqrt 5 \)           B. \(BC = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}\)                  C. \(BC = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{2}\)                         D. \(BC = \sqrt 6 \)

Câu 18: Cho ba mệnh đề sau, với \(n\) là số tự nhiên

     (1) \(n + 8\) là số chính phương        (2) Chữ số tận cùng của \(n\) là 4   (3) \(n - 1\) là số chính phương

Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai, ngoài ra số chính phương chỉ có thể tận cùng là \[0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}9\]. Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai?

     A. Mệnh đề (2) và (3) là đúng, còn mệnh đề (1) là sai.

     B. Mệnh đề (1) và (2) là đúng, còn mệnh đề (3) là sai.

     C. Mệnh đề (1) là đúng, còn mệnh đề (2) và (3) là sai.

     D. Mệnh đề (1) và (3) là đúng, còn mệnh đề (2) là sai.

 Câu 19: Phần không bị gạch trên hình vẽ dưới đây minh họa cho tập hợp nào?

 

     A. \(\left( { - 3; + \infty } \right).\)                              B. \(\left( {5; + \infty } \right).\)   C. \(\{  - 3;5\} \)     D. \(\left( { - 3;5} \right].\)

Câu 20: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

     A. \(\sin (\pi  + \alpha ) = \sin \alpha .\)                    B. \[\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha .\]       C. \(\tan (\pi  - \alpha ) =  - \tan \alpha \)   D. \(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha \)

Câu 21: Cho hai tập hợp \(A = ( - 1;4]\) và \(B = [ - 2; + \infty )\). Xác định tập hợp \({C_B}A\).

     A. \({C_B}A = [ - 2; - 1] \cup (4; + \infty )\)             B. \({C_B}A = (4; + \infty )\)      

     C. \({C_B}A = [ - 2; - 1) \cup [4; + \infty )\)             D. \({C_B}A = [ - 2; - 1) \cup (4; + \infty )\)

Câu 22: Cho tam giác cân \[ABC\] có\(\widehat A = {120^0}\)và \[AB = AC = a\]. Lấy điểm \[M\]trên cạnh \[BC\] sao cho \(BM = \frac{{2BC}}{5}\). Tính độ dài \[AM.\]

     A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)                                               B. \(\frac{{11a}}{5}\)             C. \(\frac{{a\sqrt 7 }}{5}\)                                     D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\)

Câu 23: Nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau?

  

     A. \(2x - y < 3\)                 B. \(2x - y > 3\)                  C. \(x - 2y < 3\)                 D. \(x - 2y > 3\)

Câu 24: Cho góc \(\alpha \) với \({0^0} < \alpha  < {180^0}\). Tính giá trị của \(\cos \alpha \), biết \(\tan \alpha  =  - 2\sqrt 2 \).

     A. \( - \frac{1}{3}.\)           B. \(\frac{1}{3}.\)              C. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)           D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}.\)

Câu 25: Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn cùng một điểm trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo được khoảng cách AB = 40cm, \(\angle CAB = {45^0}\), \(\angle CBA = {70^0}\). Vậy sau khi đo đạc và tính toán được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?

  

     A. 53 m                              B. 30 m                              C. 41,5 m                           D. 41 m

Câu 26: Trái đất quay một vòng quanh mặt trời là 365 ngày. Kết quả này có độ chính xác là \(\frac{1}{4}\) ngày. Sai số tương đối là:

     A. 0,0068%.                      B. 0,068%.                         C. 0,68%.                          D. 6,8%.

Câu 27: Cho mẫu số liệu: 1    3    6    8    9    12. Tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

     A. Q₁ = 3, Q₂ = 6,5, Q₃ = 9.                                         B. Q₁ = 1, Q₂ = 6,5, Q₃ = 12.

     C. Q₁ = 6, Q₂ = 7, Q₃ = 8.                                            D. Q₁ = 3, Q₂ = 7, Q₃ = 9.

Câu 28: Cho bốn điểm A,B,C,D phân biệt. Khi đó, \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} \) bằng véctơ nào sau đây?

     A. \(\vec 0\)                       B. \(\overrightarrow {BD} \)                                     C. \(\overrightarrow {AC} \)   D. \(2\overrightarrow {DC} \)

 Câu 29: Cho hình chữ nhật ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

     A. \(\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {BD} \)                          B. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \vec 0\)

     C. \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AD} } \right|\)      D. \(\left| {\overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AB} } \right|\)

Câu 30: Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MA} \), \(\overrightarrow {{F_2}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MB} \), \(\overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 50 N và tam giác MAB vuông tại M. Tìm cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)

     A. 86,60 N                         B. 100 N                            C. 70,71 N                         D. 70,17 N

Câu 31: Sản lượng lúa của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây: (đơn vị: tạ)

Phương sai là

     A. 1,24                               B. 1,54                               C. 22,1                               D. 4,70

Câu 32: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm \(G\). Đặt \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = b\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {BG} \) theo \(\vec a\) và \(\vec b\).

     A. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)              B. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\)     C. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\)              D. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)

Câu 33: Cho hình vuông ABCD cạnh \(a\), \(M\) là điểm thay đổi. Độ dài véctơ \(\vec u = \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD} \) là:

     A. \(4a\sqrt 2 \)                                                           B. \(a\sqrt 2 \)                   C. \(3a\sqrt 2 \)     D. \(2a\sqrt 2 \)

Câu 34: Cho tam giác ABC đều cạnh a, G là trọng tâm. Mệnh đề nào sau đây sai?

     A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \frac{1}{2}{a^2}.\)        B. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  =  - \frac{1}{2}{a^2}.\)            C. \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB}  = \frac{1}{6}{a^2}.\)              D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG}  = \frac{1}{2}{a^2}.\)

Câu 35: Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = a\) và \(AD = a\sqrt 2 \). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC} \)

     A. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 \)    B. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  =  - {a^2}\sqrt 2 \)                   C. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = {a^2}\sqrt 2 \)                        D. \(\overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = 2{a^2}\)

 

 

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1: Cho hai tập hợp \(A = \left[ { - 2;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3} \right)\) và \(B = \left[ {1;6} \right)\). Xác định các tập hợp \(A \cup B,A \cap B,A{\rm{\backslash }}B,B{\rm{\backslash }}A\)

Câu 2: Bảo Anh và Quang ghi lại số tin nhắn điện thoại mà mỗi người nhận được từ ngày 1/11 đến ngày 15/11 ở bảng sau:

 

     a) Hãy tìm phương sai của từng dãy số liệu.

     b) Xác định các giá trị ngoại lệ (nếu có).

Câu 3: Cho tam giác ABC.

     a) Xác định điểm I sao cho \(\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  - 2\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

     b) Xác định điểm D sao cho \(3\overrightarrow {DB}  - 2\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

     c) Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.

 

-----HẾT-----

---

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

I. Trắc nghiệm (7 điểm)

 

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Mệnh đề là câu khẳng định, có tính đúng hoặc sai.

Cách giải:

(1) và (4) là mệnh đề.

Chọn B.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in K,\,\,P\left( x \right)\)” là mệnh đề “\(\exists x \in K,\,\,\overline {P\left( x \right)} \)”.

Cách giải:

Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x):  “\(\forall x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 > 0\)” là “\(\exists x \in \mathbb{R}\), \({x^2} + x + 1 \le 0\)”.

Chọn C.

 Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Giải nghĩa và giải tập hợp.

Cách giải:

Ta có \(\frac{{{x^2} + 2}}{x} = x + \frac{2}{x} \in \mathbb{Z}\) với \(x \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{2}{x} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \Leftrightarrow x \in U\left( 2 \right) \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 2; - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 2} \right\}.\)

Vậy  \(A = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}.\)

Chọn C.

 Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Tập hợp rỗng không chứa phần tử nào.

Cách giải:

+) Xét đáp án A: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \mathbb{R}}\\{\left| x \right| < 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {\rm{\;}} - 1 < x < 1\) \( \Rightarrow A = \left( { - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right) \ne \emptyset \)

\( \Rightarrow \) Loại đáp án A.

+) Xét đáp án B: \(6{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{6}}\end{array}} \right.\)  \( \Rightarrow A = \left\{ 1 \right\} \ne \emptyset \)

\( \Rightarrow \) Loại đáp án B.

+) Xét đáp án C: \({x^2} - 4x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + \sqrt 2 }\\{x = 2 - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow A = \emptyset \)

Chọn C.

 Câu 5 (VD):

Phương pháp:

Thực hiện các phép toán trên tập hợp. Sử dụng trục số.

Cách giải:

+) \(A \cap B = \left( { - 3;2} \right]\)

 

=> A đúng.

+) \(A\backslash B = \left( { - \infty ; - 3} \right]\)

 

=> B sai.

+) \(A \cup B = \left( { - \infty ;5} \right]\)

 

=> C đúng.

+) \(B\backslash A = \left( {2;5} \right]\).

 

=> D đúng.

Chọn B.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Cho tập hợp B có n phần tử. Số tập hợp con của B là \({2^n}\)

Cách giải:

Tập hợp \(B = \left\{ {x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5} \right\}\) có 5 phần tử.

Số tập hợp con của tập B là: \({2^5} = 32\)

Chọn D.

 Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Kí hiệu \(\exists \) đọc là “tồn tại”.

Cách giải:

Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\,\,{x^2} = 2\)” khẳng định rằng: “Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng 2”.

Chọn B.

 Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là \(ax + by + c < 0\), \(ax + by + c > 0\), \(ax + by + c \le 0\), \(ax + by + c \ge 0\), trong đó a, b, c là các số cho trước sao cho \({a^2} + {b^2} \ne 0\).

Cách giải:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(x + y \ge 0\).

Chọn D.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào bất phương trình.

Cách giải:

Thay tọa độ điểm A(1;-1) ta có: \(\left( {1 + \sqrt 3 } \right) + \left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 2 \ge 2\) (Đúng).

Vậy điểm A thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Chọn A.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định lí cosin trong tam giác: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\)

Cách giải:

\(E{F^2} = E{G^2} + F{G^2} - 2EG.FG.\cos G\) là mệnh đề đúng.

Chọn D.

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ABC: \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{AB}}\).

Cách giải:

Áp dụng định lí Sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{AB}}\).

Theo giả thiết \(\frac{{\sin B}}{{\sin C}} = \sqrt 3  \Rightarrow \frac{{AC}}{{AB}} = \sqrt 3  \Rightarrow AC = \sqrt 3 AB.\)

Vậy \(AC = \sqrt 3 .2\sqrt 2  = 2\sqrt 6 .\)

Chọn D.

Câu 12 (VD):

Phương pháp:

Tính sinA.

Tính diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A.\)

Sử dụng định lí cosin trong tam giác tính a: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\)

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S = \frac{1}{2}a{h_a}\), từ đó tính \({h_a}\).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}A = \frac{{16}}{{25}}\end{array}\)

Vì \({0^0} < A < {180^0}\) nên sinA > 0 \( \Rightarrow \sin A = \frac{4}{5}.\)

Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A. = \frac{1}{2}.7.5.\frac{4}{5} = 14.\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A.\\\,\,\,\,\,\, = {7^2} + {5^2} - 2.7.5.\frac{3}{5}\\\,\,\,\,\,\, = 32\\ \Rightarrow a = 4\sqrt 2 .\end{array}\)

Lại có: \(S = \frac{1}{2}a{h_a} \Rightarrow {h_a} = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.14}}{{4\sqrt 2 }} = \frac{{7\sqrt 2 }}{2}.\)

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Lập mệnh đề đảo của từng mệnh đề và xét tính đúng sai.

Cách giải:

Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 3 thì số nguyên n có tổng các chữ số bằng 9”. Mệnh đề này sai vì tổng các chữ số của n phải chia hết cho 9 thì n mới chia hết cho 9. 

Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu \({x^2} > {y^2}\) thì x > y” sai vì \({x^2} > {y^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > y\\x <  - y\end{array} \right.\)

Xét mệnh đề đảo của đáp án C: “Nếu t.x = t.y thì x = y” sai với t = 0 \( \Rightarrow x,y \in \mathbb{R}\).

Chọn D.

 Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào hệ bất phương trình.

Cách giải:

Dễ thấy các điểm \(O\left( {0;0} \right)\), \(M\left( {1;0} \right)\), \(P\left( {0;2} \right)\) không thỏa mãn bất phương trình \(x + y + 1 < 0\) nên không thỏa mãn cả hệ bất phương trình.

Chọn C.

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Nhớ bảng giá trị lượng giác của các góc thường dùng hoặc sử dụng máy tính cầm tay.

Cách giải:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{B = 4{a^2}{{\sin }^2}{{45}^0} - 3{{\left( {a\tan {{45}^0}} \right)}^2} + {{\left( {2a\cos {{45}^0}} \right)}^2}}\\{B = 4{a^2}{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - 3{a^2} + {{\left( {2a\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}\\{B = 4{a^2}.\frac{1}{2} - 3{a^2} + 4{a^2}.\frac{1}{2}}\\{B = {a^2}}\end{array}\)

Chọn D.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = pr\).

Cách giải:

Nửa chu vi tam giác đều cạnh a là \(p = \frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}\).

Tam giác đều cạnh a có diện tích \(S = \sqrt {\frac{{3a}}{2}\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)}  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Lại có \(S = pr \Leftrightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}:\frac{{3a}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn C.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác: \(\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC.BC}}\).

Cách giải:

Áp dụng hệ quả định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2AC.BC}}\\ \Leftrightarrow \cos {45^0} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + B{C^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.\sqrt 3 .BC}}\\ \Leftrightarrow \sqrt 6 BC = B{C^2} + 1\\ \Leftrightarrow B{C^2} - \sqrt 6 BC + 1 = 0\\ \Leftrightarrow BC = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{2}\end{array}\).

Chọn B.

Câu 18 (VDC):

Phương pháp:

Số chính phương có các chữ số tận cùng là \[0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}9\]. Dùng loại trừ để đưa ra đáp án đúng.

Cách giải:

Ta có số chính phương có các chữ số tận cùng là \[0,{\rm{ }}1,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6,{\rm{ }}9\]. Vì vậy

- Nhận thấy giữa mệnh đề (1) và (2) có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử 2 mệnh đề này đồng thời là đúng thì \(n + 8\) có chữ số tận cùng là 2 nên không thể là số chính phương. Vậy trong hai mệnh đề này phải có một mệnh đề là đúng và một mệnh đề là sai.

- Tương tự, nhận thấy giữa mệnh đề (2) và (3) cũng có mâu thuẫn. Bởi vì, giả sử mệnh đề này đồng thời là đúng thì \(n - 1\) có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chính phương.

Vậy trong ba mệnh đề trên thì mệnh đề (1) và (3) là đúng, còn mệnh đề (2) là sai.

Chọn D.

 Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Biểu diễn tập hợp trên trục số.

Cách giải:

Hình vẽ đã cho là minh họa cho tập hợp \(( - 3;5]\)

Chọn D.

Câu 20 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng mối liên hệ giá trị lượng giác của hai góc bù nhau, đối nhau, phụ nhau

Cách giải:

\(\sin (\pi  + \alpha ) = \sin ( - \alpha ) =  - \sin \alpha .\) => A sai

\[\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha .\] => B đúng

\(\tan (\pi  - \alpha ) =  - \tan \alpha \) => C đúng

\(\cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \tan \alpha \)=> D đúng

Chọn A.

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

\({C_B}A = B\backslash A = \{ x|x \in B\) và \(x \notin A\)}.

Cách giải:

Ta có: \({C_B}A = B\backslash A = [ - 2; + \infty ){\rm{\backslash }}( - 1;4]\)

 

\( \Rightarrow {C_B}A = [ - 2; - 1] \cup (4; + \infty ).\)

Chọn A.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

- Tính BC dựa vào định lí côsin trong tam giác cân ABC.

- Tính BM.

- Tính AM dựa vào định lí côsin trong tam giác ABM.

Cách giải:

  

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2} - 2ABAC\cos {{120}^0}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2} - 2a.a.\left( { - \frac{1}{2}} \right)}  = a\sqrt 3 {\rm{ }} \Rightarrow BM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{5}\)

\(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2} - 2AB.BM.cos{{30}^0}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}} \right)}^2} - 2a.\frac{{2a\sqrt 3 }}{5}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}  = \frac{{a\sqrt 7 }}{5}\).

Chọn C.

 

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Tìm phương trình đường thẳng d. Loại đáp án.

Thay tọa độ điểm O(0;0) vào các bất phương trình chưa bị loại ở các đáp án, tiếp tục loại đáp án.

Cách giải:

Đường thẳng d đi qua điểm (3;0) nên loại đáp án A, B.

Ta thấy điểm O(0;0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

+ Thay tọa độ điểm O(0;0) vào biểu thức \(x - 2y\) ta có: \(0 - 2.0 = 0 < 3\)

Do đó bất phươn trình cần tìm là \(x - 2y > 3\)

Chọn D.

 

Câu 24 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức: \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.\)

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow 1 + {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{9}\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha  =  \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)

Vì \({0^0} < \alpha  < {180^0}\) \( \Rightarrow \sin \alpha  > 0\).

Vậy \(\sin \alpha  = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)

Chọn C.

Câu 25 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC.

Cách giải:

Ta có: \(\angle ACB = {180^0} - {45^0} - {70^0} = {65^0}\)

Áp dụng hệ quả định lí Sin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{\sin {{70}^0}}} = \frac{{40}}{{\sin {{65}^0}}}\\ \Rightarrow AC = \frac{{40}}{{\sin {{65}^0}}}.\sin {70^0} \approx 41,47\,\,\left( m \right)\end{array}\)

Chọn C.

Câu 26 (TH):

Phương pháp:

Sai số tương đối \({\delta _a} \le \frac{d}{{\left| a \right|}}\).

Cách giải:

Ta có: \(d = \frac{1}{4} \Rightarrow \delta  \le \frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{1}{{4.365}} = 0,0068\% \).

Chọn A.

Câu 27 (NB):

Phương pháp:

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị ta làm như sau:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

• Tìm trung vị. Giá trị này là Q₂.

• Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ). Giá trị này là Q₁.

• Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ). Giá trị này là Q₃.

Q₁, Q₂, Q₃ được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu.

Cách giải:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 1    3    6    8    9    12.

Cỡ mẫu n = 6 chẵn nên \({Q_2} = \frac{{6 + 8}}{2} = 7.\)

Nửa số liệu bên trái Q₂: 1    3   6 => Q₁ = 3.

Nửa số liệu bên phải Q₂: 8    9   12 => Q₃ = 9.

Vậy Q₁ = 3, Q₂ = 7, Q₃ = 9.

Chọn D.

Câu 28 (NB):

Phương pháp:

Nhóm \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AD} \), áp dụng quy tắc cộng vectơ.

Cách giải:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} = \left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right) - \left( {\overrightarrow {AD} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \vec 0\).

Chọn A.

Câu 29 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc hình bình hành tính \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} \).

Tính độ dài vectơ vừa tìm được.

Cách giải:

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\).

Chọn A.

Câu 30 (VDC):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Vật đứng yên khi tổng các lực tác động lên điểm bằng 0.

Cách giải:

  

Có cường độ lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 50 N  và tam giác MAB vuông tại M

\( \Rightarrow \) Tam giác MAB vuông cân tại M

Lấy điểm D sao cho MADB là hình vuông

 \( \Rightarrow MD = \sqrt {M{A^2} + A{D^2}} {\rm{\;}} = \sqrt {M{A^2} + M{B^2}} {\rm{\;}} = 50\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\)

Vì vật đứng yên nên tổng các lực tác động lên điểm bằng 0

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \vec 0\) hay \(\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = \vec 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \left( {\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} } \right) = {\rm{\;}} - \overrightarrow {MD} \)

Vậy lực \(\overrightarrow {{F_3}} \) có hướng ngược với \(\overrightarrow {MD} \) và có cường độ bằng \(50\sqrt 2 {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N \approx 70,71{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N\)

Chọn C.

Câu 31 (TH):

Phương pháp:

Đối với bảng phân bố tần số, phương sai được tính theo công thức:

\({s^2} = \frac{1}{N}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + {\rm{\;}} \ldots {\rm{\;}} + {n_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}} \right]\)

Với \({n_i};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {f_i}\) lần lượt là tần số, tần suất của giá trị \({x_i}\).

Cách giải:

Bảng phân số tần số:

 

*) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:

\(\bar x = \frac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1{\mkern 1mu} \)(tạ)

*) Phương sai:

\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {5.{{\left( {20 - 22,1} \right)}^2} + 8.{{\left( {21 - 22,1} \right)}^2} + 11.{{\left( {22 - 22,1} \right)}^2} + 10.{{\left( {23 - 22,1} \right)}^2} + 6.{{\left( {24 - 22,1} \right)}^2}} \right]\)\( = 1,54\) (tạ)

Chọn B.

Câu 32 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để biểu diễn véctơ.

Cách giải:

 

\(\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

Mặt khác, \(\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec b\) nên ta có: \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)

Vậy \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\).

Chọn A.

Câu 33 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng vecto để tìm được vecto \(\vec u\).

Cách giải:

   

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: \(AB = BC = CD = DA = 2\); \(AC = BD = a\sqrt 2 \).

Ta có:

\(\vec u = \overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD} \)

\({\mkern 1mu}  = \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right) - 3\overrightarrow {MD} \)

\({\mkern 1mu}  = \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} {\rm{\;}} - 3\overrightarrow {MD} \)

\( = \overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} \)

\( = \left( {\overrightarrow {DA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DB} \)

\( = \overrightarrow {DB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {DB} \)

\( = 2\overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \vec u = 2\overrightarrow {DB} \)

\( \Rightarrow \left| {\vec u} \right| = \left| {2.\overrightarrow {DB} } \right| = 2.a.\sqrt 2 {\rm{\;}} = 2\sqrt 2 a\)

Chọn D.

Câu 34 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = a.b.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Cách giải:

  

Ta có:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a.\cos A = {a^2}\cos {60^ \circ } = \frac{1}{2}{a^2}\) => A đúng

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = AC.CB.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a.a.\cos {120^ \circ } =  - \frac{1}{2}{a^2}\) => B đúng

+ \(AG = \frac{2}{3}AM;AM = AC.\sin C = a.\sin {60^ \circ } = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow AG = BG = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB}  = GA.GB.\cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {120^ \circ } =  - \frac{1}{6}{a^2}\) => C sai.

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG}  = AB.AG.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right) = a.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\cos {30^ \circ } = \frac{1}{2}{a^2}\) => D đúng.

 

Chọn C.

Câu 35 (VD):

Cách giải: 

Ta có:

\(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {2{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3 \)

Lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BK}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \\\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {BK} .\overrightarrow {AC}  = \left( {\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AD} \\ =  - {a^2} + 0 + 0 + \frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\\ = 0\end{array}\)

Chọn A.

 

II. Tự luận (3 điểm)

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

Biểu diễn trên trục số.

Cách giải:

  \(A \cup B = [ - 2;6)\)

 

\(A \cap B = [ - 1;3)\)

 

\(A\backslash B = [ - 2; - 1)\)

 

\(B\backslash A = [3;6)\)

 

 

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

a) +) Số trung bình \(\bar x = \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n}\).

+) Phương sai: \({s^2} = \frac{1}{n}\left( {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2} \right) - {\bar x^2}\)

b) +) Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là Δ_Q, là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là

Δ_Q = Q₃ – Q₁.

+) Giá trị ngoại lệ: Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q.

Bỏ giá trị ngoại lệ (nếu có), tính lại số trung bình, tìm số trung vị của 2 mẫu số liệu và so sánh.

Cách giải:

a) n = 15.

+ Bảo Anh:

Số trung bình:

\({\bar x_1} = \frac{{2 + 4 + 3 + 4 + 6 + 2 + 3 + 2 + 4 + 5 + 3 + 4 + 6 + 7 + 3}}{{15}} = \frac{{58}}{{15}} \approx 3,87\).

Phương sai:

\(s_1^2 = \frac{1}{{15}}\left( {{{3.2}^2} + {{4.3}^2} + {{4.4}^2} + {5^2} + {{2.6}^2} + {7^2}} \right) - \bar x_1^2 = 2,25\).

+ Quang:

Số trung bình:

\({\bar x_2} = \frac{{3 + 4 + 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 30 + 2 + 2 + 2 + 3 + 6}}{{15}} = \frac{{67}}{{15}} \approx 4,47\)

Phương sai:

\(s_2^2 = \frac{1}{{15}}\left( {{{2.1}^2} + {{6.2}^2} + {{3.3}^2} + {{2.4}^2} + {6^2} + {{30}^2}} \right) - \bar x_2^2 = 48,12\).

b)

+ Bảo Anh:

Áp dụng các bước tìm tứ phân vị ta tìm được: Q₁ = 3, Q₃ = 5.

\( \Rightarrow {\Delta _Q}\) = Q₃ – Q₁ = 5 – 3 = 2.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 5 + 1,5.2 = 8

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 3 − 1,5.2 = 0

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của Khuê suy ra không có giá trị ngoại lệ.

+ Quang:

Áp dụng các bước tìm tứ phân vị ta tìm được Q₁ = 2, Q₃ = 4

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 4 – 2 = 2.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 4 + 1,5.2 = 7

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 2 − 1,5.2 = −1

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của Trọng suy ra giá trị ngoại lệ là 30.

Câu 3 (VDC):

Cách giải:

a) Gọi M là trung điểm AB.

Ta có: \(\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  - 2\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {IB}  - 2\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IM}  + 2\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {IM}  = 2\overrightarrow {BC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IM}  = \overrightarrow {BC} \end{array}\]

Do đó IMCB là hình bình hành

Vậy I là đỉnh thứ tư của hình bình hành IMCB.

b) Ta có: \(3\overrightarrow {DB}  - 2\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {DC}  + 3\overrightarrow {CB}  - 2\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {DC}  + 3\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CD}  = 3\overrightarrow {CB} \end{array}\)

Vậy D thuộc tia CB, sao cho CD=3CB.

c)

 

Cách 1:

Ta có: D thuộc tia CB, sao cho CD=3CB.

\( \Rightarrow \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {CB} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {CB} \)

Lại có: \(\overrightarrow {AI}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MI}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {AI} \)

Vậy A, I, D thẳng hàng.

Cách 2:

Gọi J là giao điểm của IM và AD.

Xét tam giác ABD ta có:

JM // DB (do IM // BC)

M là trung điểm AB

=> J là trung điểm AD và \(JM = \frac{1}{2}DB\)

Lại có: \(IM = BC = \frac{1}{3}CD \Rightarrow IM = \frac{1}{2}BD\)

Do đó \(IM = JM\) hay \(I \equiv J\)

Vậy A, I, D thẳng hàng.