Đề số 2 - Đề kiểm tra học kì 2 - Toán 7

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)

Câu 1: Kết quả thu gọn đơn thức \(\left( { - \dfrac{3}{4}{x^2}y} \right).\left( { - x{y^3}} \right)\) là:

A. \(\dfrac{3}{4}{x^3}{y^3}\)        B.\(\dfrac{{ - 3}}{4}{y^4}{x^3}\)                          

C.\(\dfrac{3}{4}{x^3}{y^4}\)         D.\(\dfrac{3}{4}{x^4}{y^3}\)

Câu 2: Giá trị của đa thức \(P = {x^2}y + 2xy + 3\) tại \(x =  - 1,\,y = 2\) là

A.\(8\)                B.\(1\)                                     

C.\(5\)                D.\( - 1\)

Câu 3: Tổng của hai đơn thức \(4{x^2}y\) và \( - 8{x^2}y\) là:

A.\( - 4{x^4}{y^2}\)              B.\( - 32{x^2}y\)                                

C.\( - 4{x^2}y\)               D.\(4{x^2}y\)

Câu 4: Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 6cm,\,BC = 8cm,\,AC = 10cm.\) Số đo góc \(\angle A;\,\angle B;\,\angle C\) theo thứ tự là

A.\(\angle B < \angle C < \angle A\)              

B.\(\angle C < \angle A < \angle B\)              

C.\(\angle A > \angle B > \angle C\)              

D.\(\angle C < \angle B < \angle A\)

II. TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)                              

Bài 1 (1,5 điểm) Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:

\(a)\,A\left( x \right) = 2x - 6\)            

\(b)\,B\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {2 - x} \right)\)

\(c)\,C\left( x \right) = 8{x^3} - 2x\)

Bài 2 (2,5 điểm) Cho 2 đa thức:

\(\begin{array}{l}A\left( x \right) = 6{x^2} - 5x + {x^3} - 4{x^2} - 7\\B\left( x \right) =  - 2{x^2} - 5x + 11 + 2{x^2} + {x^3}\end{array}\)

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính \(A\left( 2 \right)\) và \(B\left( { - 1} \right);\)

c) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right)\) và \(A\left( x \right) - B\left( x \right)\)

Bài 3 (3,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB < AC,\) đường cao \(AH.\) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm E sao cho \(AH = AE.\) Qua \(E\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AC\), cắt \(BC\) tại D.

a) Chứng minh \(\Delta AHD = \Delta AED\)

b) So sánh \(DH\) và \(DC\)

c) Gọi \(DE\) cắt \(AH\) tại \(K.\) Chứng minh \(\Delta DKC\) cân tại \(D\).

d) Gọi \(M\) là trung điểm của \(KC.\) Chứng minh ba điểm \(A,\,D,\,M\) thẳng hàng.

Bài 4 (0,5 điểm) Cho đa thức \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c.\) Biết \(f\left( 0 \right) = 2017;\,\,f\left( 1 \right) = 2018;\,\)\(f\left( { - 1} \right) = 2019.\) Tính \(f\left( 2 \right)\)

Đ/án Trắc nghiệm

Lời giải chi tiết:

LG bài 1

Phương pháp giải:

Để tìm nghiệm của đa thức ta cho đa thức đó bằng \(0\), sau đó giải phương trình tìm nghiệm.

Lời giải chi tiết:

\(a)\,A\left( x \right) = 2x - 6\)            

Cho \(A\left( x \right) = 0\) ta có:

\(2x - 6 = 0 \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3\)

Vậy \(x = 3\) là nghiệm của đa thức \(A\left( x \right).\)

\(\begin{array}{l}b)\,B\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {2 - x} \right)\\ = 2x - 2 + 6 - 3x\\ =  - x + 4\end{array}\)

Cho \(B\left( x \right) = 0\), ta có:

\( - x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\)

Vậy \(x = 4\) là nghiệm của đa thức \(B\left( x \right)\).

\(c)\,C\left( x \right) = 8{x^3} - 2x\) 

Cho \(C\left( x \right) = 0\) ta có:

\(\begin{array}{l}8{x^3} - 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2x\left( {4{x^2} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4{x^2} - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của đa thức \(C\left( x \right)\) là \(x = 0;\,x = \dfrac{1}{2};\,x = \dfrac{{ - 1}}{2}\).

LG bài 2

Phương pháp giải:

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Thay \(x = 2\) vào biểu thức đã thu gọn của \(A\left( x \right)\) để tìm \(A\left( 2 \right)\). Thay \(x =  - 1\) vào biểu thức đã thu gọn của \(B\left( x \right)\) để tìm \(B\left( { - 1} \right).\)

c) Thực hiện cộng trừ hai đa thức với nhau theo quy tắc.

Lời giải chi tiết:

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

\(\begin{array}{l} + )\,A\left( x \right) = 6{x^2} - 5x + {x^3} - 4{x^2} - 7\\ = {x^3} + \left( {6{x^2} - 4{x^2}} \right) - 5x - 7\\ = {x^3} + 2{x^2} - 5x - 7\\ + )B\left( x \right) =  - 2{x^2} - 5x + 11 + 2{x^2} + {x^3}\\ = {x^3} + \left( {2{x^2} - 2{x^2}} \right) - 5x + 11\\ = {x^3} - 5x + 11\end{array}\)

b) Thay \(x = 2\) vào \(A\left( x \right)\) để tìm \(A\left( 2 \right)\). Ta có:

\(A\left( 2 \right) = {2^3} + {2.2^2} - 5.2 - 7 =  - 1\)

Vậy \(A\left( 2 \right) =  - 1.\)

Thay \(x =  - 1\) vào \(B\left( x \right)\) để tìm \(B\left( { - 1} \right).\) Ta có:

\(B\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} - 5\left( { - 1} \right) + 11 = 15\)

Vậy \(B\left( { - 1} \right) = 15.\)

c)

\(\begin{array}{l}A\left( x \right) + B\left( x \right)\\ = \left( {{x^3} + 2{x^2} - 5x - 7} \right) + \left( {{x^3} - 5x + 11} \right)\end{array}\)

\( = \,\left( {{x^3} + {x^3}} \right) + 2{x^2}\)\( + \left( { - 5x - 5x} \right) + 11 - 7\)

\( = 2{x^3} + 2{x^2} - 10x + 4\)

Vậy \(A\left( x \right) + B\left( x \right) = 2{x^3} + 2{x^2} - 10x + 4\).

\(\begin{array}{l}A\left( x \right) - B\left( x \right)\\ = \left( {{x^3} + 2{x^2} - 5x - 7} \right) - \left( {{x^3} - 5x + 11} \right)\\ = {x^3} + 2{x^2} - 5x - 7 - {x^3} + 5x - 11\end{array}\)

\( = \left( {{x^3} - {x^3}} \right) + 2{x^2}\)\( + \left( { - 5x + 5x} \right) + \left( { - 7 - 11} \right)\)

\( = \,\,\,\,\,\,2{x^2} - 18\)

Vậy \(A\left( x \right) - B\left( x \right) = 2{x^2} - 18\)

LG bài 3

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(\Delta AHD\, = \Delta AED\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông).

b) So sánh \(DH\) với \(DE\) rồi so sánh \(DE\) với \(DC\), từ đó kết luận \(DH < DC\).

c) Chứng minh \(DC = DK\) từ đó suy ra \(\Delta DKC\) cân tại \(D.\)

d) Chứng minh \(D\) là trực tâm của tam giác cân \(AKC\), sau đó chứng minh \(AM\) là đường cao hạ từ đỉnh \(A\) của \(\Delta AKC\). Suy ra \(A,D,M\) thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta AHD\,\)và \(\Delta AED\) có: 

\(\begin{array}{l}AH = AE\left( {gt} \right)\\AD\,chung\\\angle H = \angle E = {90^0}\left( {gt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AHD\, = \Delta AED\) (cạnh huyền-cạnh góc vuông).

b) Vì \(\Delta AHD\, = \Delta AED\,\left( {cmt} \right)\) do đó: \(DH = DE\)  (hai cạnh tương ứng)

Mà trong \(\Delta DEC\) có \(DE < DC\) (cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền)

\( \Rightarrow DH < DC\).

c) Xét \(\Delta HAC\) và \(\Delta EAK\) có:

\(\angle H = \angle E = {90^0}\left( {gt} \right)\)

\(HA = EA\left( {gt} \right)\)

\(\angle A\) chung

\( \Rightarrow \Delta HAC = \Delta EAK\left( {g.c.g} \right)\)

\( \Rightarrow CH = KE\) (hai cạnh tương ứng)

Mà 

\(\begin{array}{l}CH = DC + DH\\KE = DK + DE\end{array}\)

Lại có: \(DH = DE\,\,\)\(\left( {do\,\Delta AHD = \Delta AED\left( {cmt} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow DC = DK\).

Xét \(\Delta DKC\) có \(DC = DK\left( {cmt} \right)\) do đó: \(\Delta DKC\) cân tại \(D.\)

d) Xét tam giác \(AKC\) ta thấy \(D\) là giao điểm của hai đường cao\(KE\) và \(HC\)

\( \Rightarrow D\) là trực tâm của \(\Delta AKC\)

Mà \(AK = AC\) (do \(\Delta HAC = \Delta EAK\left( {cmt} \right)\))

\( \Rightarrow \Delta AKC\) cân tại \(A\).

Mặt khác \(M\) là trung điểm của \(KC\)

\( \Rightarrow AM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh \(A.\)

\( \Rightarrow A,D,M\) thẳng hàng.

LG bài 4

Phương pháp giải:

Thay \(x = 0\) vào \(F\left( x \right)\) để tìm \(c\). Thay \(x = 1\) và \(c\) vừa tìm được vào \(F\left( x \right)\) để tìm ra biểu thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\).

Thay \(x =  - 1\) vào \(F\left( x \right)\), từ đấy tìm ra \(a\) và \(b\).

Cuối cùng tìm được biểu thức cụ thể của \(F\left( x \right)\) rồi thay \(x = 2\) vào ta tìm được giá trị của \(F\left( 2 \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(F\left( x \right) = a\,{x^2} + bx + c\)

Khi đó: \(F\left( 0 \right) = 2017 \Rightarrow a{.0^2} + b.0 + c = 2017\)\( \Rightarrow c = 2017\)

\(\begin{array}{l}F\left( 1 \right) = 2018 \Rightarrow a{.1^2} + b.1 + c = 2018\\ \Rightarrow a + b + 2017 = 2018\end{array}\) 

\( \Rightarrow a + b = 1 \Rightarrow a = 1 - b\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = 2019\\ \Rightarrow a.{\left( { - 1} \right)^2} + b\left( { - 1} \right) + c = 2019\\ \Rightarrow a - b + 2017 = 2019\\ \Rightarrow a - b = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) , ta được: 

\(\begin{array}{l}\left( {1 - b} \right) - b = 2 \Rightarrow 1 - 2b = 2\\ \Rightarrow 2b =  - 1 \Rightarrow b = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array}\)

Thay \(b = \dfrac{{ - 1}}{2}\) vào \(\left( 1 \right)\) ta được: \(a = 1 - \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) = \dfrac{3}{2}\)

Khi đó: \(F\left( x \right) = \dfrac{3}{2}.{x^2} - \dfrac{1}{2}.x + 2017\)

\( \Rightarrow F\left( 2 \right) = \dfrac{3}{2}{.2^2} - \dfrac{1}{2}.2 + 2017\)\( = 6 - 1 + 2017 = 2022\)

Vậy \(F\left( 2 \right) = 2022.\)

Nguồn sưu tầm