Đề số 1 - Đề kiểm tra học kì 2 - Toán 7

Đáp án và lời giải chi tiết Đề số 1 - Đề kiểm tra học kì 2 - Toán 7

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM) Chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng

Câu 1. Đơn thức đồng dạng với đơn thức \(\dfrac{1}{2}{x^4}{y^6}\) là:

A. \( - \dfrac{1}{2}{x^6}{y^4}\) B. \(\dfrac{1}{5}{x^4}{y^6}\)

C.\( - \dfrac{1}{2}{x^2}{y^8}\) D. \(\dfrac{4}{5}x{y^3}\)

Câu 2. Số điểm kiểm tra môn toán của mỗi bạn trong một tổ của lớp 8 được ghi lại như sau:

Số trung bình cộng là:

A. 8,7 B. 7,7 C. 8,6 D. 7,6

Câu 3. Nếu tam giác \(ABC\) có trung tuyến \(AM\) và \(G\) là trọng tâm thì

A. \(AG = GM\) B.\(GM = \dfrac{1}{2}AG\)

C. \(AG = \dfrac{1}{3}AM\) D. \(AM = 2.AG\)

Câu 4. Cho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {50^0}\,,\,\angle B = {90^0}\) thì quan hệ giữa ba cạnh \(AB,AC,BC\) là:

A. \(BC > AC > AB\)

B. \(AB > BC > AC\)

C. \(AB > AC > BC\)

D. \(AC > BC > AB\)

II. TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)

Bài 1 (VD_1,0 điểm). Cho đơn thức \(A = \left( { - \dfrac{2}{3}x{y^2}} \right).\left( { - \dfrac{1}{4}{x^2}{y^3}} \right)\)

a) Thu gọn đơn thức \(A\).

b) Tính giá trị của đơn thức \(A\) khi \(x = 1;y = - 1\).

Bài 2 (VD_1,5 điểm): Cho các đa thức:

\(A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5\)\( + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\)

\(B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4}\)\( - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\)

\(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\)

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).

c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.

Bài 3 (VD_1,5 điểm): Tìm nghiệm của các đa thức sau:

\(a)\,2\,x + 5\) \(b)\,2\,{x^2} + \dfrac{2}{3}\)

\(c)\,\left( {x - 7} \right).\left( {{x^2} - \dfrac{9}{{16}}} \right)\)

Bài 4 (VD_3,5 điểm): Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(\angle C = {30^0},\) đường cao \(AH.\) Trên đoạn \(HC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(HD = HB.\)

a) Chứng minh \(\Delta AHB = \Delta AHD\).

b) Chứng minh \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

c) Từ \(C\) kẻ \(CE\) vuông góc với đường thẳng \(AD\)\(\left( {E \in \,AD} \right)\). Chứng minh \(DE = HB\).

d) Từ \(D\) kẻ \(DF\) vuông góc với \(AC\) (\(F\,\)thuộc \(AC\)), \(I\) là giao điểm của \(CE\) và \(AH.\) Chứng minh ba điểm \(I,\,D,\,F\) thẳng hàng.

Bài 5 (VDC_0,5 điểm): Chứng minh rằng đa thức \(P\left( x \right) = {x^3} - x + 5\) không có nghiệm nguyên.

Đ/a TN

Lời giải chi tiết:

1.B

2.A

3.B

4.D

Câu 1:

Phương pháp: Đơn thức đồng dạng là những đơn thức có cùng phần biến nhưng khác hệ số.

Cách giải: Đơn thức đồng dạng với đơn thức \(\dfrac{1}{2}{x^4}{y^6}\) là: \(\dfrac{1}{5}{x^4}{y^6}\).

Chọn B.

Câu 2:

Phương pháp: Muốn tìm trung bình cộng của n số ta tìm tổng của n số đó rồi chia cho n.

Cách giải:

Số trung bình cộng là:

\(\dfrac{{9 + 9 + 10 + 7 + 9 + 9 + 7 + 9 + 8 + 10}}{{10}} = 8,7\).

Chọn A.

Câu 3:

Phương pháp: Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).

Cách giải:

Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\).

Suy ra \(GM = \dfrac{1}{2}AG\).

Chọn B.

Câu 4:

Phương pháp: Dựa vào mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để so sánh các cạnh với nhau.

Cách giải:

Ta có: \(\angle C = {180^0} - \left( {{{50}^0} + {{90}^0}} \right) = {40^0}\).

\( \Rightarrow \angle C < \angle A < \angle B\)

\( \Rightarrow AB < BC < AC\) hay \(AC > BC > AB\).

Chọn D.

LG bài 1

Phương pháp giải:

a) Để thu gọn đơn thức ta nhân phần hệ số với nhau, phần biến với nhau.

b) Thay \(x = 1;y = - 1\) vào đơn thức thu gọn của \(A\).

Lời giải chi tiết:

a) Thu gọn đơn thức:

\(\begin{array}{l}A = \left( { - \dfrac{2}{3}x{y^2}} \right).\left( { - \dfrac{1}{4}{x^2}{y^3}} \right)\\\,\,\,\,\, = - \dfrac{2}{3}.\left( {\dfrac{{ - 1}}{4}} \right).{x^3}.{y^5}\\\,\,\,\,\, = \,\dfrac{1}{6}.{x^3}.{y^5}\end{array}\)

b) Thay \(x = 1;y = - 1\) vào đơn thức \(A\) thu gọn ta được:

\(A = \dfrac{1}{6}{.1^3}.{\left( { - 1} \right)^5} = - \dfrac{1}{6}\).

Vậy giá tri của đơn thức \(A\) tại \(x = 1;y = - 1\) là \(A = - \dfrac{1}{6}.\)

LG bài 2

Phương pháp giải:

a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của đa thức \(A\left( x \right),\,B\left( x \right)\) theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\)\(\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).

c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

a) Thu gọn:

\(A\left( x \right) = 2\,{x^4} - 5\,{x^3} + 7\,x - 5\)\( + 4\,{x^3} + 3\,{x^2} + 2\,x + 3\)

\( = 2\,{x^4} + \left( { - 5\,{x^3} + 4\,{x^3}} \right) + 3{x^2}\)\( + \left( {7\,x + 2\,x} \right) - 5 + 3\)

\( = 2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x\, - 2\)

\(B\left( x \right) = 5\,{x^4} - 3\,{x^3} + 5\,x - 3\,{x^4}\)\( - 2\,{x^3}\, + 9 - 6\,x\)

\( = \left( {5\,{x^4} - 3\,{x^4}} \right) + \left( { - 3\,{x^3} - 2\,{x^3}} \right)\)\( + \left( {5\,x - 6\,x} \right) + 9\)

\( = \,\,2\,{x^4}\, - \,5{x^3} - x + 9\)

b) Tính \(A\left( x \right) + B\left( x \right);\,A\left( x \right) - B\left( x \right)\).

\( + )\,A\left( x \right) + B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right)\)\( + \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\)

\( = \left( {2\,{x^4} + 2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} - 5\,{x^3}} \right)\)\( + 3\,{x^2} + \left( {9\,x - x} \right) + \left( { - 2 + 9} \right)\)

\( = \,\,\,4\,{x^4} - 6\,{x^3} + 3\,{x^2} + 8\,x + 7\)

\( + )\,A\left( x \right) - B\left( x \right) = \left( {2\,{x^4} - {x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right)\)\( - \left( {2\,{x^4} - 5\,{x^3} - x + 9} \right)\)

\( = \left( {2\,{x^4} - \,{x^3} + 3\,{x^2} + 9\,x - 2} \right)\)\( - 2\,{x^4} + 5\,{x^3} + x - 9\)

\( = \left( {2\,{x^4} - \,2\,{x^4}} \right) + \left( { - {x^3} + 5\,{x^3}} \right)\)\( + 3\,{x^2} + \left( {9\,x + x} \right) + \left( { - 2 - 9} \right)\)

\( = \,\,4\,{x^3} + \,3\,{x^2} + 10\,x - 11\)

c) Chứng minh rằng đa thức \(C\left( x \right)\) không có nghiệm.

Ta có: \(C\left( x \right) = {x^4} + 4\,{x^2} + 5\).

Vì \({x^4}\, \ge 0\) và \({x^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \({x^4} + 4{x^2} + 5 > 0\) với mọi \(x\)

Hay \(C\left( x \right) > 0\) với mọi \(x.\)

\( \Rightarrow \) Không có giá trị nào của \(x\) làm cho \(C\left( x \right) = 0\).

\( \Rightarrow \,C\left( x \right)\) là đa thức không có nghiệm.

LG bài 3

Phương pháp giải:

Nếu tại \(x = a\) đa thức \(P\left( x \right)\) có giá trị bằng \(0\) thì ta nói \(a\) là một nghiệm của đa thức \(P\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,2\,x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow 2\,x = - 5\\ \Leftrightarrow \,\,\,\,x\,\, = \dfrac{{ - 5}}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Nghiệm của đa thức \(2\,x + 5 = 0\) là \(x = \dfrac{{ - 5}}{2}.\)

\(b)\,2\,{x^2} + \dfrac{2}{3} = 0\) \( \Leftrightarrow 2\,{x^2} = \dfrac{{ - 2}}{3}\) (Vô lý vì \(2{x^2} \ge 0\) với mọi \(x\) ).

\( \Rightarrow \) Đa thức \(2\,{x^2} + \dfrac{2}{3}\) không có nghiệm.

\(c)\,\left( {x - 7} \right).\left( {{x^2} - \dfrac{9}{{16}}} \right) = 0\).

\( \Leftrightarrow x - 7 = 0\) hoặc \({x^2} - \dfrac{9}{{16}} = 0\).

\( \Leftrightarrow x = 7\) hoặc \({x^2} = \dfrac{9}{{16}}\).

\( \Leftrightarrow x = 7\) hoặc \(x = \pm \,\dfrac{3}{4}\).

Vậy nghiệm của đa thức là \(x = 7\) hoặc \(x = \dfrac{3}{4}\) hoặc \(x = - \dfrac{3}{4}\).

LG bài 4

Phương pháp giải:

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c.

b) Chứng minh \(\Delta ABD\)là tam giác cân có một góc bằng \({60^0}\), rồi suy ra \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

c) Chứng minh \(DE = DH\) (hai cạnh tương ứng). Mà \(DH = DB\) (giả thiết) \( \Rightarrow DE = DB\).

d) Chứng minh \(FD//AB\) rồi sau đó chứng minh \(DI//AB\), rồi suy ra \(I,\,D,\,F\) là ba điểm thẳng hàng.

Lời giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHD\) ta có:

\(HD = HB\) (gt)

\(AH\,\,chung\)

\(\angle AHB = \angle AHD = {90^0}\)
\( \Rightarrow \)\(\Delta AHB = \,\Delta AHD\) (c.g.c)

b) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), có \(\angle C = {30^0} \)\(\Rightarrow \angle B = {90^0} - {30^0} = {60^0}\) (định lý tổng ba góc của một tam giác).

Vì \(\Delta AHB = \,\Delta AHD\) (cmt)

\( \Rightarrow AB = AD\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \Delta ABD\) cân tại \(A\) mà \(\angle B = {60^0}\)

Do đó: \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

c) Vì \(\Delta ABD\) là tam giác đều (cmt)

\( \Rightarrow \angle DAB = {60^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle CAD = {90^0} - \angle DAB\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {90^0} - {60^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {30^0}\end{array}\)

Xét \(\Delta ACD\) có \(\angle ACD = \angle \,CAD = {30^0}\).

\( \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại \(D.\)

\( \Rightarrow \,CD = AD\)

Xét \(\Delta DEC\) và \(\Delta DHA\) có:

\(CD = AD\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\angle E = \angle H = {90^0}\)

\(\angle CDE = \angle ADH\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \,\Delta DEC = \Delta DHA\) (cạnh huyền – góc nhọn).

\( \Rightarrow DE = DH\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(DH = HB\) (giả thiết)

\( \Rightarrow DE = HB\).

d) Từ \(D\) kẻ \(DF\) vuông góc với \(AC\) (\(F\,\)thuộc \(AC\)), \(I\) là giao điểm của \(CE\) và \(AH.\) Chứng minh ba điểm \(I,\,D,\,F\) thẳng hàng.

Ta có:

\(\begin{array}{l}DF \bot AC\,\left( {gt} \right)\\AB \bot AC\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow DF//AB\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta lại có:

\(\angle FDC = \angle HDI\) (đối đỉnh)

Mà \(\angle FDC = {90^0} - \angle C = {90^0} - {30^0} = {60^0}\)

\( \Rightarrow \angle FDC = \angle HDI = {60^0}\)

Mà \(\angle B = {60^0}\)

\( \Rightarrow \angle B = \angle DHI\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Do đó: \(DI//AB\) (2)

Từ (1) và (2), suy ra: \( I,D,B\) là ba điểm thẳng hàng.

LG bài 5

Phương pháp giải:

Biến đổi \(P(x)=0\) về dạng \(A.B=m\) với \(m\) là số nguyên

Khi đó, lập luận để có \(A,B\in Ư(m)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = {x^3} - x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - x = - 5\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 1} \right) = - 5\end{array}\)

Gọi \(k\) là nghiệm nguyên của đa thức \(P\left( x \right)\)

\( \Rightarrow k\left( {{k^2} - 1} \right) = - 5\).

\( \Rightarrow k \in \,Ư\left( 5 \right) = \left\{ { - 1;1; - 5;5} \right\}\).

Ta có bảng sau: