Đề số 18 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1. (3,0 điểm)

a)  Giải phương trình: \(3x - 2 = 0\)

b)  Giải phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

c)  Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x - 2y =  - 1\end{array} \right.\)

d)     Quãng sông từ A đến B dài \(60km\) . Một ca nô xuôi dòng từ A  đến B rồi ngược từ B trở về A mất tổng cộng 8 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô, biết vận tốc dòng nước là \(4km/h.\) 

Câu 2. (1,0 điểm) Rút gọn các biểu thức:

a)  \(A = 2\sqrt {20}  + 3\sqrt {45}  - 4\sqrt {80} .\)

b)  \(B = \left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x  - 1}}\)\(\,\,\,\left( {x \ge 0;x \ne 1;x \ne \dfrac{1}{4}} \right).\)

Câu 3. (1,5 điểm)

a) Vẽ Parabol (P): \(y = 2{x^2}\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

b) Tìm a, b để đường thẳng (d): \(y = ax + b\) đi qua \(M\left( {0; - 1} \right)\)  và tiếp xúc với Parabol (P).

Câu 4. (1,5 điểm) Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) (với m là tham số)

a)  Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b)  Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};x {  _2}\)  thỏa mãn:

\(\left( {2m - 2} \right){x_1} + x_2^2 - 4{x_2} = 4.\)

Câu 5 (3 điểm)  Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với đường tròn \(\left( O \right).\) Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(C,\) từ điểm \(C\) vẽ đường thẳng cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(D\) và \(E\) (\(D,\;\;E\) không cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(AB;\;D\) nằm giữa \(C\) và \(E\)). Từ điểm \(O\) kẻ \(OH \bot DE = \left\{ H \right\}.\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(AOHC\) nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(AD.CE = AC.AE.\)

c) Đường thẳng \(CO\) cắt tia \(BD,\) tia \(BE\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Chứng minh rằng tứ giác \(AMBN\) là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Câu 1.

a)  Giải phương trình: \(3x - 2 = 0\)

\(3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\dfrac{2}{3}} \right\}\)

b)  Giải phương trình \({x^2} - 5x + 6 = 0\)

Xét \(\Delta  = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.6 = 1 > 0\) . Khi đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{5 - 1}}{2} = 2\\{x_2} = \dfrac{{5 + 1}}{2} = 3\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {2;3} \right\}\)

c)  Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x - 2y =  - 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\x - 2y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\2x - 4y =  - 2\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 2y - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;3} \right)\)

d)   Quãng sông từ A đến B dài \(60km\) . Một ca nô xuôi dòng từ A  đến B rồi ngược từ B trở về A mất tổng cộng 8 giờ. Tính vận tốc thực của ca nô, biết vận tốc dòng nước là \(4km/h.\) 

Gọi vận tốc thực của ca nô là: \(x\left( {km/h} \right),\,\left( {x > 0} \right)\)

Vận tốc của ca nô khi đi từ A đến B là: \(x + 4\left( {km/h} \right)\)

Thời gian ca nô đi từ A đến B là: \(\dfrac{{60}}{{x + 4}}\left( h \right)\)

Vận tốc của ca nô khi đi từ B về A là: \(x - 4\left( {km/h} \right)\)

Thời gian ca nô đi từ B về A là: \(\dfrac{{60}}{{x - 4}}\left( h \right)\)

Theo bài ra ta có phương trình:

 \(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;\;\dfrac{{60}}{{x + 4}} + \dfrac{{60}}{{x - 4}} = 8\\ \Leftrightarrow 60\left( {x - 4} \right) + 60\left( {x + 4} \right) = 8\left( {{x^2} - 16} \right)\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - 120x - 128 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 15x - 16 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Ta có: \(a - b + c = 1 + 15 - 16 = 0\)  nên phương trình (*) luôn có 1 nghiệm \(x =  - 1\left( {ktm} \right)\) và nghiệm còn lại là: \(x =  - \dfrac{c}{a} = 16\left( {tm} \right)\)

Vậy vận tốc thực của ca nô là 16 (km/h).

Câu 2.

a) \(A = 2\sqrt {20}  + 3\sqrt {45}  - 4\sqrt {80}  \)\(\,= 2\sqrt {{2^2}.5}  + 3\sqrt {{3^2}.5}  - 4\sqrt {{4^2}.5}  \)\(\,= 4\sqrt 5  + 9\sqrt 5  - 16\sqrt 5  =  - 3\sqrt 5 .\)

Vậy \(A =  - 3\sqrt 5 \) .

b)   Với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \dfrac{1}{4}.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x  - 1}}\,\\\,\,\,\, = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right) + 1}}{{\sqrt x  - 1}}.\dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 1}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{2\sqrt x  - 1}}\\\,\,\,\, = \sqrt x  + 1\end{array}\)

Vậy với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne \dfrac{1}{4}.\)thì \(B = \sqrt x  + 1\)

Câu 3.

a)Vẽ Parabol (P): \(y = 2{x^2}\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Bảng giá trị

Khi đó đồ thị (P):\(y = 2{x^2}\) có hình dạng là 1 đường cong và đi qua các điểm A(1;2), B(-1;2), C(-2;8), D(2;8), O(0;0)

b) Tìm a, b để đường thẳng (d): \(y = ax + b\) đi qua \(M\left( {0; - 1} \right)\)  và tiếp xúc với Parabol (P).

Ta có đường thẳng (d) đi qua điểm \(M\left( {0; - 1} \right)\) nên: \( - 1 = a.0 + b \Leftrightarrow b =  - 1\) . Khi đó phương trình đường thẳng (d) có dạng: \(y = ax - 1\) .
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

\(2{x^2} = ax - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - ax + 1 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (*)

(d) và (P) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow a =  \pm 2\sqrt 2 \)

Vậy \(\left( {a;b} \right) = \left( {2\sqrt 2 ; - 1} \right);\left( {a;b} \right) = \left( { - 2\sqrt 2 ; - 1} \right)\)  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 4.

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Xét \(\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 6m + 4\)\(\, = {m^2} + 2m + 1 - 6m + 4 \)\(\,= {\left( {m - 2} \right)^2} + 1 > 0,\forall m\)

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm  x₁; x₂ thỏa mãn: 

\(\left( {2m - 2} \right){x_1} + x_2^2 - 4{x_2} = 4.\,\,\,\left( 2 \right)\)

Do \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1) nên ta có:

\(\begin{array}{l}x_2^2 - 2\left( {m + 1} \right){x_2} + 6m - 4 = 0\,\\ \Leftrightarrow x_2^2 - 2m{x_2} - 2{x_2} + 6m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 - 4{x_2} + 2{x_2} - 2m{x_2} + 6m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow x_2^2 - 4{x_2} =  - 2{x_2} + 2m{x_2} - 6m + 4\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Thay (3) vào (2) ta được:

\(\begin{array}{l}2m{x_1} - 2{x_1} - 2{x_2} + 2m{x_2} - 6m + 4 = 4\\ \Leftrightarrow 2m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6m = 0\\ \Leftrightarrow 2m.2\left( {m + 1} \right) - 2.2\left( {m + 1} \right) - 6m = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m - 4m - 4 - 6m = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy  \(m = 2;m =  - \dfrac{1}{2}\)  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 5: Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với đường tròn \(\left( O \right).\) Trên tia \(Ax\) lấy điểm \(C,\) từ điểm \(C\) vẽ đường thẳng cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(D\) và \(E\) (\(D,\;\;E\) không cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(AB;\;D\) nằm giữa \(C\) và \(E\)). Từ điểm \(O\) kẻ \(OH \bot DE = \left\{ H \right\}.\)