Đề số 10 - Đề thi vào lớp 10 môn Toán

Đề bài

Câu 1 (4 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:

\(\begin{array}{l}a)\;A = \sqrt {16 + 9}  - 2\\b)\;B = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  + 1\end{array}\)  

Câu 2 (1,5 điểm)

Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x - 6}}{{x + 3\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right):\frac{{2\sqrt x  - 6}}{{x + 1}}\) với \(x > 0,\;\;x \ne 9.\)

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của x để \(P = 1.\)

Câu 3 (2,5 điểm)

1) Cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y =  - \dfrac{1}{2}x + 2.\)

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( \Delta  \right):\;y = \left( {m - 1} \right)x + 1\) song song với đường thẳng \(\left( d \right).\)

b) Gọi \(A,\;B\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với parabol \(\left( P \right):\;\;y = \dfrac{1}{4}{x^2}.\) Tìm tọa độ điểm \(N\) nằm trên trục hoành sao cho \(NA + NB\) nhỏ nhất.

2) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + ay = 3a\\ - ax + y = 2 - {a^2}\end{array} \right.\;\;\;\left( I \right)\) với \(a\) là tham số.

a) Giải hệ phương trình (I) khi \(a = 1.\)

b) Tìm \(a\) để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn \(\dfrac{{2y}}{{{x^2} + 3}}\) là số nguyên.

Câu 4 (2 điểm)

Cho phương trình: \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)  với \(m\) là tham số,

a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 0.\)

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}\) thỏa mãn:

\(x_1^2 + 12 = 2{x_2} - {x_1}{x_2}.\)

Câu 5 (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm OA và dây cung MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM (K khác B, M), H là giao điểm của AK và MN.

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(AH.AK = A{M^2}\)

c) Xác định vị trí của điểm K để \(KM + KN + KB\) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

\(\begin{array}{l}a)\;A = \;\sqrt {16 + 9}  - 2 = \sqrt {25}  - 2 \\\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {{5^2}}  - 2 = 5 - 2 = 3.\\b)\;B = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)}^2}}  + 1 \\\;\;\;\;\;\;\;\;= \left| {\sqrt 3  - 1} \right| + 1 = \sqrt 3  - 1 + 1 \\\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt 3 \;\;\left( {do\;\;\sqrt 3  - 1 > 0} \right).\end{array}\)

Câu 2:

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{x - 6}}{{x + 3\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right):\dfrac{{2\sqrt x  - 6}}{{x + 1}}\) với \(x > 0,\;\;x \ne 9.\)

a) Rút gọn biểu thức P.

Điều kiện: \(x > 0,\;x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{x - 6}}{{x + 3\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right):\dfrac{{2\sqrt x  - 6}}{{x + 1}}\\\;\;\; = \left( {\dfrac{{x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right):\dfrac{{2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{x + 1}}\\\;\;\; = \dfrac{{x - 6 - \left( {\sqrt x  + 3} \right) + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 1}}{{2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{x - 6 - \sqrt x  - 3 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 1}}{{2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\\\;\;\; = \dfrac{{\left( {x - 9} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt x \left( {x - 9} \right)}} = \dfrac{{x + 1}}{{2\sqrt x }}.\end{array}\)

b) Tìm giá trị của x để \(P = 1.\)

Điều kiện: \(x > 0,\;x \ne 9.\)

\(\begin{array}{l}P = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{2\sqrt x }} = 1\\ \Leftrightarrow x + 1 = 2\sqrt x  \Leftrightarrow x - 2\sqrt x  + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 = 0 \\\Leftrightarrow \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(x = 1\) thì \(P = 1.\)

Câu 3:

1) Cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y =  - \dfrac{1}{2}x + 2.\)

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( \Delta  \right):\;y = \left( {m - 1} \right)x + 1\) song song với đường thẳng \(\left( d \right).\)

b) Gọi \(A,\;B\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với parabol \(\left( P \right):\;\;y = \dfrac{1}{4}{x^2}.\) Tìm tọa độ điểm \(N\) nằm trên trục hoành sao cho \(NA + NB\) nhỏ nhất.

1) Cho đường thẳng \(\left( d \right):\;\;y =  - \dfrac{1}{2}x + 2.\)

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \(\left( \Delta  \right):\;y = \left( {m - 1} \right)x + 1\) song song với đường thẳng \(\left( d \right).\)

Đường thẳng \(\left( d \right)//\left( \Delta  \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 =  - \dfrac{1}{2}\\1 \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}.\)

Vậy \(m = \dfrac{1}{2}.\)

b) Gọi \(A,\;B\) là giao điểm của \(\left( d \right)\) với parabol \(\left( P \right):\;\;y = \dfrac{1}{4}{x^2}.\) Tìm tọa độ điểm \(N\) nằm trên trục hoành sao cho \(NA + NB\) nhỏ nhất.

Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}{x^2} =  - \dfrac{1}{2}x + 2 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0\;\;\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 4 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A\left( {2;\;1} \right)\\x =  - 4 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow B\left( { - 4;\;4} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Khi đó \(A\left( {2;\;1} \right),\;\;B\left( { - 4;\;4} \right)\)   là hai giao điểm của 2 đồ thị hàm số.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua Ox thì \(A'\left( {2; - 1} \right)\)

Khi đó ta có: \(NA = NA'\) nên \(NA + NB\,\,\min  \Leftrightarrow NA' + NB\,\,\min \)

Mà A’, B nằm khác phía với trục Ox

Nên để NA’ + NB min thì A’, B, N thẳng hàng.

Từ đó suy ra điểm N cần tìm là giao điểm của đường thẳng A’B với trục hoành: \(N\left( {n;0} \right)\)

Gọi phương trình đường thẳng (d’) đi qua hai điểm A’, B là: \(y = ax + b\)

Do A’, B thuộc đường thẳng (d’) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b =  - 1\\ - 4a + b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{5}{6}\\b = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Ta có phương trình đường thẳng (d’) là: \(y =  - \dfrac{5}{6}x + \dfrac{2}{3}\)

Khi đó điểm N thuộc đường thẳng d’ và \(N\left( {\dfrac{4}{5};0} \right)\)

Vậy khi \(N\left( {\dfrac{4}{5};0} \right)\) thì \({\left( {NA + NB} \right)_{\min }} = A'B\)\(\, = \sqrt {{{\left( { - 4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {61} \).

2) Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + ay = 3a\\ - ax + y = 2 - {a^2}\end{array} \right.\;\;\;\left( I \right)\) với \(a\) là tham số.

a) Giải hệ phương trình (I) khi \(a = 1.\)

Thay \(a = 1\) vào hệ phương trình ta được:

\(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\ - x + y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y = 4\\x = 3 - y\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 3 - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right..\)

Vậy với \(a = 1\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;\;2} \right).\)

b) Tìm \(a\) để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\;y} \right)\) thỏa mãn \(\dfrac{{2y}}{{{x^2} + 3}}\) là số nguyên.

+) Với \(a = 0\) ta có: \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \) hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Với \(a \ne 0:\) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{ - a}} \ne \dfrac{a}{1}\;\;\left( {a \ne 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow  - {a^2} \ne 1\) (luôn đúng).

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(a.\)

Ta có: \(\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\ - a\left( {3a - ay} \right) + y = 2 - {a^2}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\ - 3{a^2} + {a^2}y + y = 2 - {a^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\y\left( {{a^2} + 1} \right) = 2 + 2{a^2}\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - ay\\y = \dfrac{{2{a^2} + 2}}{{{a^2} + 1}} = 2\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3a - 2a = a\\y = 2\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\;y} \right) = \left( {a;\;2} \right).\)

Ta có: \(\dfrac{{2y}}{{{x^2} + 3}} = \dfrac{{2.2}}{{{a^2} + 3}} = \dfrac{4}{{{a^2} + 3}}.\)

\(\dfrac{{2y}}{{{x^2} + 3}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{a^2} + 3}} \in Z\)

\(\Leftrightarrow \left( {{a^2} + 3} \right) \in U\left( 4 \right)\)

Mà \(U\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1;\; \pm 2;\; \pm 4} \right\}.\)

Lại có: \({a^2} + 3 \ge 3\;\;\forall \;a\)

\(\Rightarrow {a^2} + 3 = 4 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a =  - 1\end{array} \right..\)

Vậy \(a =  \pm 1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 4:

Cho phương trình: \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)  với \(m\) là tham số,

a) Giải phương trình \(\left( 1 \right)\) khi \(m = 0.\)

Thay \(m = 0\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta có:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x =  - 1\end{array} \right..\)

Vậy với \(m = 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \(x =  - 1\) và \(x = 3.\)

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}\) thỏa mãn:

\(x_1^2 + 12 = 2{x_2} - {x_1}{x_2}.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - m + 3 > 0 \Leftrightarrow m < 4.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = m - 3\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 2 - {x_1}\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = m - 3\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + 12 = 2{x_2} - {x_1}{x_2}\;\;\;\left( 3 \right)\)

Thế \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;x_1^2 + 12 = 2\left( {2 - {x_1}} \right) - {x_1}\left( {2 - {x_1}} \right)\\ \Leftrightarrow x_1^2 + 12 = 4 - 2{x_1} - 2{x_1} + x_1^2\\ \Leftrightarrow  - 4{x_1} = 8 \Leftrightarrow {x_1} =  - 2\\ \Rightarrow {x_2} = 2 - {x_1} = 4.\\ \Rightarrow {x_1}{x_2} = m - 3\\ \Leftrightarrow m - 3 =  - 8 \Leftrightarrow m =  - 5\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(m =  - 5.\)

Câu 5.

a) Ta có \(\widehat {AKB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác BCHK có \(\widehat {BCH} + \widehat {BKH} = {90^0} + {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

b) Ta có \(OA \bot MN\) tại C \( \Rightarrow C\) là trung điểm của MN (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow \Delta AMN\) có AC là đường cao đồng thời là trung tuyến

\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại \(A \Rightarrow AM = AN \Rightarrow \) sđ cung AM = sđ cung AN.

\( \Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {AKM}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tam giác AMN và AKM có:

\(\widehat {MAK}\) chung;

 \(\widehat {AMN} = \widehat {AKM}\,\,\left( {cmt} \right)\);

\( \Rightarrow \Delta AMH \sim \Delta AKM\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AK}} = \dfrac{{AH}}{{AM}} \Rightarrow A{M^2} = AH.AK\)

c) Lấy điểm E thuộc KN sao cho \(KM = KE\).

Xét tam giác vuông AMB có: \(A{M^2} = AC.AB = \dfrac{R}{2}.2R = {R^2} \)

\(\Rightarrow AM = R\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \sin \widehat {ABM} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{R}{{2R}} = \dfrac{1}{2} \)\(\,\Rightarrow \widehat {ABM} = {30^0}\)\( \Rightarrow \widehat {MBN} = {60^0}\) (tính đối xứng).

\( \Rightarrow \widehat {MKE} = \widehat {MKN} = \widehat {MBN} = {60^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN).

\( \Rightarrow \Delta AKE\) đều \( \Rightarrow KM = KE = ME\).

Ta có AB là trung trực của MN \( \Rightarrow BM = BN\)

Lại có \(\widehat {MBN} = {60^0}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta BMN\) đều \( \Rightarrow MB = MN = BN\) và \(\widehat {BMN} = {60^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {BMN} = \widehat {KME} = {60^0}\\ \Rightarrow \widehat {BMN} - \widehat {BME} = \widehat {KME} - \widehat {BME}\\ \Leftrightarrow \widehat {EMN} = \widehat {KMB}\end{array}\) 

Xét tam giác KMB và tam giác EMN có:

KM = EM;

MB = MN;

\(\widehat {EMN} = \widehat {KMB}\,\,\left( {cmt} \right);\)

\( \Rightarrow \Delta KMB = \Delta EMN\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow KB = EN\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow S = KM + KN + KB\)

         \(= KE + \left( {KE + EN} \right) + EN \)

         \(= 2\left( {KE + EN} \right) = 2KN\)

KN lớn nhất khi và chỉ khi KN là đường kính của đường tròn O, khi đó KN = 2R và \({S_{\max }} = 4R\)

KN nhỏ nhất khi và chỉ khi \(K \equiv M \Rightarrow KN = MN \Rightarrow {S_{\min }} = 2MN\)

Xét tam giác vuông AMB cos \(M{C^2} = AC.BC = \dfrac{R}{2}.\dfrac{{3R}}{2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4} \)

\(\Rightarrow MC = \dfrac{{R\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MN = R\sqrt 3  \)

\(\Rightarrow {S_{\min }} = 2R\sqrt 3 \)

Vậy \({\left( {KM + KN + KB} \right)_{\max }} = 4R\) và  \({\left( {KM + KN + KB} \right)_{\min }} = 2R\sqrt 3 \).