Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 1 - Chương 4 - Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Câu 1: Giá trị của \(\lim \dfrac{{1 - {n^2}}}{n}\) bằng:

A. \( + \infty \)             B. \( - \infty \)

C. 0                  D. 1               

Câu 2: Cho \(\lim \,{u_n} = L\). Chọn mệnh đề đúng:

A. \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = L\)

B. \(\lim \sqrt[{}]{{{u_n}}} = L\)

C. \(\lim \sqrt[{}]{{{u_n}}} = \sqrt L \)

D. \(\lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\)

Câu 3: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x + 2)\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \)

A. \(\dfrac{1}{2}\)                   B. 0

C. 1                     D. Không tồn tại

Câu 4: Giá trị của \(\lim \dfrac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{{{(3n - 1)}^2}}}\) bằng

A. \( + \infty \)                B. \( - \infty \)

C. \(\dfrac{4}{9}\)                  D. 1

Câu 5: Cho dãy số \(({u_n})\) với \({u_n} = (n - 1)\sqrt {\dfrac{{2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \). Chọn kết quả đúng của \(\lim {u_n}\)là

A. \( - \infty \)                B. 0

C. 1                    D. \( + \infty \)

Câu 6: \(\lim \dfrac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}}\) bằng

A. \( + \infty \)                 B. 1

C.0                       D. \( - \infty \)

Câu 7: Giá trị của \(\lim (\sqrt {{n^2} + 2n}  - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}})\) bằng

A. \( - \infty \)                     B. \( + \infty \)

C. \(\dfrac{1}{3}\)                        D. 1

Câu 8: Tính giới hạn sau: \(\lim \left[ {\dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n(n + 3)}}} \right]\)

A. \(\dfrac{{11}}{{18}}\)                    B. 2

C. 1                       D. \(\dfrac{3}{2}\)

Câu 9: Chọn đáp án đúng: Với  là các hằng số và  nguyên dương thì:

A. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } c = c\)     

B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{c}{{{x^k}}} =  + \infty \)      

C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} = 0\)

D.\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  - \infty \)

Câu 10: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{4{x^3} - 1}}{{3{x^2} + x + 2}}\) bằng

A. \( - \infty \)               B. \(\dfrac{{ - 11}}{4}\)

C. \(\dfrac{{11}}{4}\)                 D. \( + \infty \)

Câu 11: Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{2x}}\)

A. \( + \infty \)                  B. \(\dfrac{1}{8}\)

C. -2                     D. 1

Câu 12: Cho phương trình \(2{x^4} - 5{x^2} + x + 1 = 0\,\,\,\,(1)\) . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong \(( - 2;1)\)

B. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \((0;2)\)

C. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(( - 2;0)\)

D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng \(( - 1;1)\)

Câu 13: Tìm a để hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5a{x^2} + 3x + 2a + 1}\\{1 + x + \sqrt {{x^2} + x + 2} }\end{array}} \right.\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{x < 0}\end{array}\)có giới hạn khi \(x \to 0\)

A. \( + \infty \)                 B. \( - \infty \)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)                 D. 1

Câu 14: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}}\)

A. \( + \infty \)                 B. \( - \infty \)

C. \( - \dfrac{1}{6}\)                 D. 1

Câu 15: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^3} - 8}}\)

A. \( + \infty \)                  B. \( - \infty \)

C. \(\dfrac{1}{4}\)                    D. 0

Câu 16: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{3x - 9}}\) bằng?

A. \( - \dfrac{1}{3}\)                 B.

C. \(\dfrac{1}{3}\)                 D. Không tồn tại

Câu 17: Cho cấp số nhân \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}},\forall n \ge 1\). Khi đó:

A. S=1                 B. \(s = \dfrac{1}{{{2^n}}}\)

C. S=0                 D.  S=2

Câu 18: Cho hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}-5x + 6}}\) . Hàm số  liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. \(( - \infty ;3)\)                    B. \((2;3)\)

C. \(( - 3;2)\)                D. \(( - 3; + \infty )\)

Câu 19: Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sqrt {2x + 8}  - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}}\\0\end{array}} \right.\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{x >  - 2}\\{x =  - 2}\end{array}.\) Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(1) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x) = 0\)

(2) \(f(x)\)liên tục tại x = -2

(3) \(f(x)\) gián đoạn tại x = -2

A.Chỉ (1) và (3)

B. Chỉ (1) và (2)

C. Chỉ (1)

D. Chỉ (2)

Câu 20: Cho hàm số\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + 1)}^2}\,\,}\\{{x^2} + 3\,\,}\\{{k^2}}\end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{,x > 1}\\{,x < 1}\\{,x = 1}\end{array}\). Tìm k để \(f(x)\) gián đoạn tại x = 1

A. \(k \ne  \pm 2\)

B. \(k \ne 2\)

C. \(k \ne  - 2\)

D. \(k \ne  \pm 1\)

Câu 21: Cho hàm số\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + 2\,\,\,,\,x > 1}\\{3{x^2} + x - 1\,\,\,\,\,,x \le 1}\end{array}} \right.\,\,\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục tại x = 1

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục tại x = 1

D. Tất cả đều sai

Câu 22: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  - x} \right)\)

A. \( + \infty \)          B. \( - \infty \)

C. \(\dfrac{{ - 1}}{2}\)           D. \(0\)

Câu 23: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

(1) \(f(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} - 1} }}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)

(2) \(f(x) = \dfrac{{\sin x}}{x}\) có giới hạn khi \(x \to 0\)

(3)\(f(x) = \sqrt {9 - {x^2}} \) liên tục trên đoạn [-3;3]

A.Chỉ (1) và (2)

B. Chỉ (2) và (3)

C. Chỉ (2)

D. Chỉ (3)

Câu 24: Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\dfrac{1}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)\)

A. \( + \infty \)                  B. \( - \infty \)

C. \(\dfrac{{ - 2}}{3}\)                  D. \(\dfrac{2}{3}\)

Câu 25: Giá trị đúng của  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{x^4} + 7}}{{{x^4} + 1}}\)là

A. \( + \infty \)                 B. -1

C. 1                      D. 7

 

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
B	D	B	C	B
6	7	8	9	10
A	C	A	A	B
11	12	13	14	15
B	B	C	D	C
16	17	18	19	20
C	A	B	B	A
21	22	23	24	25
C	C	B	B	C

 

Câu 1: Đáp án B

\(\lim \dfrac{{1 - {n^2}}}{n} = \lim \left( {\dfrac{1}{n} - n} \right) =  - \infty \)

Câu 2: Đáp án D

\(\lim {u_n} = L \Rightarrow \lim \sqrt[3]{{{u_n}}} = \sqrt[3]{L}\)

Câu 3: Đáp án B

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x + 2)\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}}  \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 3{x^2} - 4}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\dfrac{{\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}} - \dfrac{4}{{{x^4}}}}}{{1 + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^4}}}}}}  \\= \sqrt {\dfrac{0}{1}}  = 0\end{array}\)

Câu 4: Đáp án C

\(\lim \dfrac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{{{(3n - 1)}^2}}} \) \(= \lim \dfrac{{4{n^2} + 3n + 1}}{{9{n^2} - 6n + 1}} \) \(= \lim \dfrac{{4 + \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}}{{9 - \dfrac{6}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}}} = \dfrac{4}{9}\)

Câu 5: Đáp án B

\(\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {(n - 1)\sqrt {\dfrac{{2n + 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} } \right) \\= \lim \sqrt {\dfrac{{\left( {2n + 2} \right){{\left( {n - 1} \right)}^2}}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \\ = \lim \sqrt {\dfrac{{\left( {2n + 2} \right)\left( {{n^2} - 2n + 1} \right)}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}} \\ = \lim \sqrt {\dfrac{{2{n^3} - 6{n^2} - 2}}{{{n^4} + {n^2} - 1}}}  \\= \lim \sqrt {\dfrac{{\dfrac{2}{n} - \dfrac{6}{{{n^2}}} - \dfrac{2}{{{n^4}}}}}{{1 + \dfrac{1}{{{n^2}}} - \dfrac{1}{{{n^4}}}}}}  \\= \sqrt {\dfrac{0}{1}}  = 0\end{array}\)

Câu 6: Đáp án A

\(\lim \dfrac{{{5^n} - 1}}{{{3^n} + 1}} = \lim \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}\)

Do \(\lim \left( {1 - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}} \right) = 1 > 0\), \(\lim \left( {{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}} \right) = 0\)và \({\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{1}{5}} \right)^n} > 0\)nên

\(\lim \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}}{{{{\left( {\dfrac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^n}}} =  + \infty \)

Câu 7: Đáp án C

\(\begin{array}{l}\lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)\\ = \lim \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right) \\+ \lim \left( {n - \sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)\\ = \lim \dfrac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}} \\+ \lim \dfrac{{{n^3} - {n^3} - 2{n^2}}}{{{n^2} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)}^2}}}\\ = \lim \dfrac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}} \\+ \lim \dfrac{{ - 2{n^2}}}{{{n^2} + n.\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + 2{n^2}}}} \right)}^2}}}\\ = \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}}  + 1}} \\+ \lim \dfrac{{ - 2}}{{1 + \sqrt[3]{{1 + \dfrac{2}{n}}} + {{\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{2}{n}}}} \right)}^2}}}\\ = 1 + \left( { - \dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Câu 8: Đáp án A

\(\lim \left[ {\dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n(n + 3)}}} \right]\)

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n(n + 3)}}\\ = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{3}{{1.4}} + \dfrac{3}{{2.5}} + ... + \dfrac{3}{{n(n + 3)}}} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {1 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left[ {\left( {1 + \dfrac{1}{2} + ... + \dfrac{1}{n}} \right) - \left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + ... + \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{3}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)\\ \Rightarrow \lim \left( {\dfrac{1}{{1.4}} + \dfrac{1}{{2.5}} + ... + \dfrac{1}{{n(n + 3)}}} \right)\\ = \lim \dfrac{1}{3}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + \dfrac{1}{{n + 3}}} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\left( {1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{11}}{{18}}\end{array}\)

Câu 9: Đáp án A

Với  là các hằng số và  nguyên dương thì:

Câu 10: Đáp án B

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \dfrac{{4{x^3} - 1}}{{3{x^2} + x + 2}} \) \(= \dfrac{{4.{{( - 2)}^2} - 1}}{{3.{{( - 2)}^2} + ( - 2) + 2}} = \dfrac{{ - 33}}{{12}} = \dfrac{{ - 11}}{4}\)

Câu 11: Đáp án B

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {x + 4}  - 2}}{{2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt {x + 4}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}}{{2x\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x + 4 - 4}}{{2x\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{2x\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{2x\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt {x + 4}  + 2} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{2\left( {\sqrt 4  + 2} \right)}} = \dfrac{1}{8}\end{array}\)

Câu 12: Đáp án B

Câu 13: Đáp án C

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {5a{x^2} + 3x + 2a + 1} \right) \\= 2a + 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {1 + x + \sqrt {{x^2} + x + 2} } \right) \\= 1 + \sqrt 2 \end{array}\)

Để f(x) có giới hạn khi  x\( \to \) 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x)\)=\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x)\) hay \(2a + 1 = 1 + \sqrt 2  \Leftrightarrow a = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Câu 14: Đáp án D

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^3} - 8}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + 2x + 4}}\\ = \dfrac{{(2 + 2)({2^2} - 1)}}{{{2^2} + 2.2 + 4}} = 1\end{array}\)

Câu 15: Đáp án C

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{{x^3} - 8}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2x + 4}}\\ = \dfrac{{2.2 - 1}}{{{2^2} + 2.2 + 4}} = \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Câu 16: Đáp án C

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{\left| {x - 3} \right|}}{{3x - 9}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{x - 3}}{{3x - 9}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{{x - 3}}{{3\left( {x - 3} \right)}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\)

Câu 17: Đáp án A

Cho cấp số nhân \({u_n} = \dfrac{1}{{{2^n}}},\forall n \ge 1\).

Khi đó: \({u_1} = \dfrac{1}{2},q = \dfrac{1}{2} \) \(\Rightarrow S = \dfrac{{\dfrac{1}{2}}}{{1 - \dfrac{1}{2}}} = 1\)

Câu 18: Đáp án B

f(x) xác định khi \({x^2} + 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\)hoặc \(x \ne  - 3\)

Suy ra hàm số  liên tục trên khoảng (2;3)

Câu 19: Đáp án B

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \dfrac{{\sqrt {2x + 8}  - 2}}{{\sqrt {x + 2} }}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \dfrac{{2x + 4}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {2x + 8}  + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \dfrac{{2(x + 2)}}{{\sqrt {x + 2} \left( {\sqrt {2x + 8}  + 2} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} \dfrac{{2\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {2x + 8}  + 2}} = 0\end{array}\)

Câu 20: Đáp án A

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 4\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 3} \right) = 4\end{array}\)

Để f(x) gián đoạn tại x = 1 thì \({k^2} \ne 4 \Leftrightarrow k \ne  \pm 2\)

Câu 21: Đáp án C

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + 2} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{\sqrt {x - 1} }} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x - 1} }} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} \left( {x + 2} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2\\ = 0 + 2 = 2\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {3{x^2} + x - 1} \right) = 3 + 1 - 1 = 3\)

\(f(1) = {3.1^2} + 1 - 1 = 3\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = f(1)\)nên hàm số gián đoạn tại x=1

Câu 22: Đáp án C

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  - x} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  - x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} - x + 1}  + x} \right)}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{{x^2} - x + 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 - x}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1}  + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x\left( {\dfrac{1}{x} - 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}  + 1} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array}\)

Câu 23: Đáp án B

f(x) có tập xác định \(D = R\backslash \left\{ { \pm 1} \right\} \Rightarrow \)(1) sai

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{x} = 1 \Rightarrow \)(2) đúng

f(x) có tập xác định \(D = \left[ { - 3;3} \right] \Rightarrow \)liên tục trên \(\left[ { - 3;3} \right]\)\( \Rightarrow \)(3) sai

Câu 24: Đáp án B

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\dfrac{1}{{{x^3} - 1}} - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ - {x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - {x^2} - x} \right) =  - 2\end{array}\)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{ - {x^2} - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} =  - \infty \)

Câu 25: Đáp án C