Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 6 - Bài 5 - Chương 3 - Hình học 9

Đề bài

Tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O), D là một điểm trên cung BC. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Chứng minh rằng: \(AB^2= BE.CF\).

Lời giải chi tiết

Ta có :

\(\widehat {BED} =\dfrac {{sd\overparen{AC} - sd\overparen{BD}}}{ 2} \)

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,= \dfrac{{sd\overparen{BC} - sd\overparen{BD}} }{ 2}\) (vì \(\overparen{AC} = \overparen{ BC}\))

\(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,=\dfrac{{sd\overparen{DC}} }{ 2}\) ( góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn)

\(\widehat {CBF} = \dfrac{{sd\overparen{DC}}}{2}\) ( góc nội tiếp)

\(\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBF}\)

Tương tự ta chứng minh được \(\widehat {CFD} = \widehat {BCE}\).

Vậy \(∆BCE\) và \(∆CFB\) đồng dạng (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{{BC} }{ {CF}} =\dfrac {{BE}}{ {BC}}\)

\( \Rightarrow  BC^2= BE.CF\) mà \(BC = AB\) (gt)

\( \Rightarrow  AB^2= BE.CF.\)