Bài 37 trang 82 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn \((O)\) và hai dây \(AB\), \(AC\) bằng nhau. Trên cung nhỏ \(AC\) lấy một điểm \(M\). Gọi \(S\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC\). Chứng minh: \(\widehat {ASC} = \widehat {MCA}.\)

Lời giải chi tiết

Xét đường tròn \((O)\), ta có:

\(\widehat{ASC}\) là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn chắn cung \(MC\) và \(AB.\)

\(\Rightarrow \widehat{ASC} = \dfrac{sđ \overparen{AB}- sđ \overparen{MC}}{2}\) (1)

và \(\widehat {MCA}\) = \(\dfrac{sđ\overparen{AM}}{2}\)   (2) (góc nội tiếp chắn cung \(\overparen{AM}\))

Theo giả thiết thì: \(AB = AC => \overparen{AB}=\overparen{AC}\)  (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau).  

\(\Rightarrow sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{MC}=sđ\overparen{AC}-sđ\overparen{MC}=sđ\overparen{AM}\)  (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: \(\widehat {ASC}=\widehat {MCA}.\) (đpcm)