Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 5 – Chương IV - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M là điểm biểu diễn cho số phức z = a + bi. Tính S = a + b.

 

A. S = 4                       B. S = 1

C. S = 2                       D. S = 3.

Câu 2. Điểm nào trong các điểm sau  đây là điểm biểu diễn hình học của số phức z = - 5 + 4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

A. A(- 5 ; 4).                B. B(5 ; - 4 ).

C. C(4 ; - 5).                 D. D(4 ; 5).

Câu 3. Trong C, phương trình \({z^3} + 1 = 0\) có nghiệm là :

A. \(S = \{  - 1;\,\dfrac{{2 \pm i\sqrt 3 }}{2}\} \). 

B. \(S = \{  - 1\} \).

C. \(S = \{  - 1;\dfrac{{5 \pm i\sqrt 3 }}{4}\} \). 

D. \(S = \{  - 1;\dfrac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2}\} \).

Câu 4. Số phức z thỏa mãn \(|z| = 5\) và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.

A. \(\left[ \begin{array}{l}z = 2\sqrt 5  + i\sqrt 5 \\z =  - 2\sqrt 5  - i\sqrt 5 \end{array} \right.\).    

B. \(\left[ \begin{array}{l}z =  - 2\sqrt 5  + i\sqrt 5 \\z = 2\sqrt 5  - i\sqrt 5 \end{array} \right.\).

C. \(\left[ \begin{array}{l}z = \sqrt 5  + 2\sqrt 5 i\\z =  - \sqrt 5  - 2\sqrt 5 i\end{array} \right.\).   

D. \(\left[ \begin{array}{l}z =  - \sqrt 5  + 2\sqrt 5 i\\z = \sqrt 5  - 2\sqrt 5 i\end{array} \right.\).

Câu 5. Cho số phức z thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = 1\). Tập hợp điểm biểu diễn số phức z – i trong mặt phằng tọa độ là đường tròn có phương trình :

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\). 

B. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).

C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\).  

D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\)

Câu 6. Điểm biểu diễn cùa các số phức z = 7 + bi với \(b \in R\), nằm trên đường thẳng có phương trình là:

A. x = 7.                         B. y  = 7.

C. y = x.                         D. y = x + 7.

Câu 7. Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = - 2 +5i. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh để sau:

A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.

B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành.

C. Hai điểm A và B đối xứng  với nhau qua gốc tọa độ O.

D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung.

Câu 8. Biết rằng số phức liên hợp của z là \(\overline z  = \left( {2 + 3i} \right) + \left( {4 - 8i} \right)\). Tìm số phức z.

A. \(z =  - 6 - 5i\). 

B. \(z = 6 + 5i\).

C. \(z =  - 6 + 5i\).    

D. \(z = 6 - 5i\).

Câu 9. Cho \(\overline z  = \left( {5 - 2i} \right)\left( { - 3 + 2i} \right)\). Giá trị của \(2|z| - 5\sqrt {377} \) bằng :

A. \( - 10\sqrt {377} \).                        B. \(10\sqrt {377} \).

C. \(7\sqrt {377} \).                            D. \( - 3\sqrt {377} \).

Câu 10. Tìm số phức z biết \(|z| = 5\) và phần thực lớn hơn phần ảo một đơn vị .

A. \({z_1} = 3 + 4i\,,\,\,{z_2} =  - 4 - 3i\).

B. \({z_1} = 4 + 3i\,,\,\,{z_2} =  - 3 - 4i\).

C. \({z_1} =  - 4 - 3i\,,\,\,{z_2} = 3 + 4i\)

D. \({z_1} = \left( {2\sqrt 3  + 1} \right) + 2\sqrt 3 \) \({z_2} = \left( { - 2\sqrt 3  + 1} \right) - 2\sqrt 3 i\)

Câu 11. Cho số phức z = a + bi và \(\overline z \) là số phức liên hợp của z. Chọn kết luận đúng.

A. \(z + \overline z  = 2a\).                     B. \(z.\overline z  = 1\).

C. \(z - \overline z  = 2b\).                      D. \(z.\overline z  = {z^2}\).

Câu 12. Cho các số phức \({z_1} =  - 1 + i\,,\,\,{z_2} = 1 - 2i\,,\,\,{z_3} = 1 + 2i\). Giá trị biểu thức \(T = |{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}|\) là:

A. 1                              B. \(\sqrt {13} \)    

C. 5                              D. 13

Câu 13. Cho hai số phức \({z_1} = 3 - 2i\) \({z_2} = \left( {{a^2} + a + 1} \right) + \left( {2{a^2} + 3a - 4} \right)i\). Tìm \(a \in R\) để \({z_1} = {z_2}\).

A. a = -3.                       B. a = 1.

C. a = - 1 .                      D. a = - 2 .

Câu 14. Kí hiệu a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức \(3 - 2\sqrt 2 i\). Tìm a , b.

A. a = 3 ,  b = 2.  

B. a = 3 ,  b = \(2\sqrt 2 \).

C. a = 3 ,  b = \(\sqrt 2 \).

D. a = 3 ,  b = \( - 2\sqrt 2 \).

Câu 15. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z - 2i| = 4\) là:

A. Đường tròn tâm I(1 ; - 2), bán kính R = 4.

B. Đường tròn tâm I(1 ; 2), bán kính R = 4.

C. Đường tròn tâm I(0 ; 2), bán kính  R = 4.

D. Đường tròn tâm I(0 ; -2), bán kính R = 4.

Câu 16. Xác định số phức z thỏa mãn \(|z - 2 - 2i| = \sqrt 2 \) mà \(|z|\) đạt giá trị lớn nhất.

A. z = 1 + i. 

B. z = 3 + i.

C. z = 3 + 3i.      

D. z =  1+ 3i.

Câu 17. Cho số phức \(z = r\left( {\cos \dfrac{\pi }{4} + i\sin \dfrac{\pi }{4}} \right)\). Chọn 1 acgumn của z:

A. \( - \dfrac{\pi }{4}\)                         B. \(\dfrac{{5\pi }}{4}\)    

C. \(\dfrac{{9\pi }}{4}\)                          D. \( - \dfrac{{5\pi }}{4}\).

Câu 18. Cho số phức \(z = \dfrac{{1 + i}}{{2 - i}}\). Mô đun của z là:

A. \(\sqrt {\dfrac{2}{5}} \).                        B. \(\sqrt {\dfrac{5}{2}} \)    

C. \(\dfrac{2}{5}\)                            D. \(\dfrac{5}{2}\).

Câu 19. Số phức z có mô đun r = 2 và acgumen \(\varphi  =  - \dfrac{\pi }{2}\) thì có dạng lượng giác là:

A. \(z = 2\left( {\cos \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\).

B. \(z = 2\left( {\cos \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) - i\sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\).

C. \(z = 2\left( {\cos \left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\). 

D. \(z = 2\left( { - \cos \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\).

Câu 20. Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) nhận z = 1 – 2i làm nghiệm  Khi đó a + b bằng:

A. 3                             B. 4   

C. 5                             D. 6.

Câu 21. Gọi số phức z có dạng đại số và dạng lượng giác lần lượt là z = a + bi và \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\). Chọn mệnh đề đúng .

A. \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).     

B. \(r = {a^2} + {b^2}\).

C. \({r^2} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).            

D. \(r = |a + b|\).

Câu 22. Cho số phức z có dạng lượng giác \(z = 2\left( {\cos \dfrac{\pi }{2} + i\sin \dfrac{\pi }{2}} \right)\). Dạng lượng giác của z là:

A. z = 2.         

B. z = 2i.

C. z = -2 .                      

D. z = - 2i.

Câu 23. Trong mặt phẳng phức, A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \({z_1} = 1 + 2i\,,\,\,{z_2} = 2 + 3i\,,\,\,{z_3} = 3 + 4i\). Trọng tâm tam giác ABC là điểm :

A. G ( 2 ; -3 ).  

B. G (2 ; 3).

C. G ( 3 ; 2).             

D. G (-3 ;2).

Câu 24. Cho số phức z = 4 + 3i. Tìm phần thực và phần ảo của z.

A. Phần thực của z là 4, phần ảo của z là 3.

B. Phần thực của z là 4, phần ảo của z là 3i.

C. Phần thực của z là 3, phần ảo của z là 4.

D. Phần thực của z là 3, phần ảo của z là 4i.

Câu 25. Tổng của hai số phức \({z_1} = 2 + 3i\,,\,\,{z_2} = 5 - 6i\)là:

A.  7 – 3i.    

B. 7 + 3i.

C. – 3 +9i.             

D. 3 + 9i.

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
A	A	D	A	A
6	7	8	9	10
A	D	B	D	B
11	12	13	14	15
A	B	D	D	C
16	17	18	19	20
C	C	A	A	A
21	22	23	24	25
A	B	B	A	A

 Lời giải chi tiết 

Câu 1: A

Câu 2: A

Câu 3: D

\(\)\(\begin{array}{l}{z^3} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow (z + 1)({z^2} - z + 1) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 1 = 0{\rm{          }}\left( 1 \right)\\{z^2} - z + 1 = 0{\rm{    }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

(1)\( \Leftrightarrow z =  - 1\)

Giải (2):

\(\Delta  = {b^2} - 4ac = 1 - 4 =  - 3 = 3{i^2}\)

\( \Rightarrow \Delta \)có hai căn bậc hai là \(i\sqrt 3 \)và \( - i\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow \)Phương trình có hai nghiệm: \({z_1} = \dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{2},{z_2} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{2}\)

Câu 4: A

Đặt z= x+ yi                                 x,y\( \in \mathbb{Z}\)

Theo yêu cầu bài toán ta có:

 \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = 5\\x = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + yi} \right| = 5\\x = 2y\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 5{\rm{     }}\left( 1 \right)\\x = 2y{\rm{             }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Thay (2) vào (1), ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {4{y^2} + {y^2}}  = 5 \Leftrightarrow 5{y^2} = 25\\ \Leftrightarrow {y^2} = 5\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \sqrt 5  \Rightarrow x = 2\sqrt 5 \\y =  - \sqrt 5  \Rightarrow x =  - 2\sqrt 5   \end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow z = 2\sqrt 5  + i\sqrt 5 \)

\(\Rightarrow z =  - 2\sqrt 5  - i\sqrt 5\)
Câu 5: A

Đặt \(z - i = {\rm{ }}x + yi\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow z = x + \left( {y + 1} \right)i\\\left| {z - 2 - 2i} \right| = 1\\ \Rightarrow \left| {x + (y + 1)i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| {(x - 2) + (y - 1)i} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y - 1)}^2}}  = 1\\ \Leftrightarrow {(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ là đường tròn có phương trình:\({(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1\)

Câu 6: A

Câu 7: D

Câu 8: B 

Câu 9: D

Ta có:   \(\overline z \)= \(\left( {5 - {\rm{ }}2i} \right)\left( { - 3 + {\rm{ }}2i} \right)\)= \( - 15 - {\rm{ }}4{i^2} + {\rm{ }}6i + {\rm{ }}10i = {\rm{ }} - 11 + 16i\)

Câu 10: B

Đặt \(z = x + yi\)\(x,y \in \mathbb{Z}\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| z \right| = 5\\x = y + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {x + yi} \right| = 5\\x = y + 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 5\,\,(1)\\x = y + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)\(\begin{array}{l}(1)\\(2)\end{array}\)

Thay( 2) vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{(y + 1)}^2} + {y^2}}  = 5\\ \Leftrightarrow 2{y^2} + 2y - 24 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow z = 4 + 3i\\y =  - 4 \Rightarrow x =  - 3 \Rightarrow z =  - 3 - 4i\end{array} \right.\end{array}\)

Câu 11: A

Câu 12: B

\({z_1} =  - 1 + i\)    ,     \({z_2} = 1 - 2i\)      ,      \({z_3} = 1 + 2i\)

\(\begin{array}{l}{z_1}{z_2} + {z_2}{z_3} + {z_3}{z_1}\\ = ( - 1 + i)(1 - 2i) + (1 - 2i)(1 + 2i) + (1 + 2i)( - 1 + i)\\ = ( - 1 + i)\left[ {(1 - 2i) + (1 - 2i)} \right] + (1 - 2i)(1 + 2i)\\ = ( - 1 + i)2 + 1 - 4{i^2}\\ =  - 2 + 2i + 5\\ = 3 + 2i\end{array}\)

Câu 13: D

\(\begin{array}{l}{z_1} = {z_2}\\ \Leftrightarrow 3 - 2i = ({a^2} + a + 1) + (2{a^2} + 3a - 4)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a + 1 = 3\\2{a^2} + 3a - 4 =  - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a - 2 = 0\\2{a^2} + 3a - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + a = 2{\rm{             (1)}}\\2{a^2} + 3a - 2 = 0{\rm{     (2)}}\end{array} \right.\end{array}\)

Thay (1) vào (2) được:

\(4 + a - 2 = 0 \Leftrightarrow a =  - 2\)

Câu 14: D

Câu 15: C

Đặt \(z = x + yi\)

\(\begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| = 4 \Rightarrow \left| {x + yi - 2i} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \left| {x + (y - 2)i} \right| = 4\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{(y - 2)}^2}}  = \sqrt 2 \end{array}\)

\( \Rightarrow \)Tập hợp điểm biểu diễn \(M(x,y)\) biểu diễn số phức là đường tròn tâm \(I(2,2)\) , bán kính \( = \sqrt 2 \)

  Có    \(\left| z \right| = \left| {x + yi} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Lấy    \(O(0,0)\); \(M(x,y)\)

\( \Rightarrow OM = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Do \(M\) chạy trên đường tròn, \(O\)cố định nên\(MO\) lớn nhất khi \(M\)là giao điểm của \(OI\)với đường tròn

Có  \(O(0,0)\), \(I(2,2)\)  nên \(\overrightarrow {OI}  = (2,2)\)

Phương trình đường thẳng \(OI\):  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 2t\end{array} \right.\)  (1)

Mặt khác: \(OI\) là giao với đường tròn tại \(M\) nên thay (1) vào phương trình đường tròn ta được:

\(\begin{array}{l}{(2t - 2)^2} + {(2t - 2)^2} = 2\\ \Leftrightarrow {(2t - 2)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t - 2 = 1\\2t - 2 =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{3}{2} \Rightarrow {M_1}(3,3) \Rightarrow O{M_1} = 3\sqrt 2 \\z = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {M_2}(1,1) \Rightarrow O{M_2} = \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow {z_{\max }} = O{M_1} = 3\sqrt 2 \) với \(M(3,3)\)

\( \Rightarrow z = 3 + 3i\)

Câu 17: C

Câu 18: A

\(\begin{array}{l}z = \dfrac{{1 + i}}{{2 - i}} = \dfrac{{(1 + i)(2 - i)}}{{4 - {i^2}}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{2 - {i^2} + 2i - i}}{5}\\\,\,\,\, = \dfrac{{3 + i}}{5} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}i\end{array}\)

\( \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {\dfrac{9}{{25}} + \dfrac{1}{{25}}}  = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5} = \sqrt {\dfrac{2}{5}} \)

Câu 19: A

Câu 20: A

 Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) nhận \({z_1} = 1 - 2i\)\( \to \) nghiệm còn lại là \({z_2} = 1 + 2i\)

Theo Vi- et ta có:

\(\begin{array}{l}y' = 0 \Leftrightarrow 4(m + 1){x^3} - 2mx = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{{2m}}{{4m + 4}}{\rm{       (1)}}\end{array} \right.\\y = (m + 1){x^4} - m{x^2} + 3\\\dfrac{{2m}}{{4m + 4}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 1\end{array} \right. \\ \Rightarrow m \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow a + b = 3\)

Câu 21: A

Câu 22: B

Câu 23: B

\(\begin{array}{l}{z_1} = 1 + 2i \to A(1,2)\\{z_2} = 2 + 3i \to B(2,3)\\{z_3} = 3 + 4i \to C(3,4)\\\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Trọng tâm tam giác \(ABC\): \(G(2,3)\)

Câu 24:A

Câu 25: A

\({z_1} + {z_2} = 2 + 3i + 5 - 6i = 7 - 3i\)