Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 2 – Chương IV - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn \(2z - \left( {3 + 4i} \right) = 5 - 2i\). Mô đun của z bằng bao nhiêu ?

A. \(\sqrt {15} \).                             B. 5  

C. \(\sqrt {17} \)                              D. \(\sqrt {29} \).

Câu 2. Cho số phức \(z = {\left( {\dfrac{{1 + 2i}}{{2 - i}}} \right)^{2022}}\). Tìm phát biểu đúng .

A. z là số thuần ảo.  

B. z có phần thực âm.

C. z là số thực.     

D. z có phần thực dương.

Câu 3. Trong C, cho phương trình bậc hai \(a{z^2} + bz + c = 0\,\,(*)\,\,(a \ne 0)\). Gọi \(\Delta  = {b^2} - 4ac\). Ta xét các mệnh đề:

+ Nếu \(\Delta \) là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm.

+ Nếu \(\Delta  \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm số phân biệt.

+ Nếu \(\Delta  = 0\) thì phương trình có một nghiệm kép.

Trong các nệnh đề trên:

A. Cả ba mệnh đề đều đúng . 

B. Có một mệnh đề đúng.

C. Không mệnh đề nào đúng .

D. Có hai mệnh đề đúng.

Câu 4. Số phức nghịch đảo của số phức \(z = 1 - \sqrt 3 i\) là:

A. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i\).

B. \(1 + \sqrt 3 i\).

C. \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i\).    

D. \( - 1 + \sqrt 3 i\).

Câu 5. Biết nghịch đảo của số phức z là liên hợp của nó. Chọn mệnh đề đúng

A. \(|z| = 2\)     

B. \(|z| = 1\).

C. z là số thực.              

D. z là số thuần ảo.

Câu 6. Cho số phức \(z = a + bi\). Tìm mệnh đề đúng.

A. \(z - \overline z  = 2a\).    

B. \(z + \overline z  = 2bi\).

C. \(|{z^2}| = |z{|^2}\).        

D. \(z.\overline z  = {a^2} + {b^2}\).

Câu 7. Thu gọn số phức \(i\left( {2 - i} \right)\left( {3 + i} \right)\) ta được:

A. 6.          

B. 2 + 5i.

C. 1 + 7i.               

D. 7i.

Câu 8. Gọi \({z_1}\,,\,{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 2 = 0\). Tính giá trị của \(P = \left| {\dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}}} \right|\).

A. P = 1           

B. P = 4.

C. P = 0.        

D. P = \(\sqrt 2 \).

Câu 9. Cho số phức z = 2 – 3i . Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng 3i.

B. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng 3.

C. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng - 3i.

D. Phần thực của z bằng 2 và phần ảo của z bằng - 3.

Câu 10. Tìm b, c \( \in R\) để phương trình \(2{z^2} - bz + c = 0\) có hai nghiệm thuần ảo.

A. \(\left\{ \begin{array}{l}b > 0\\c = 0\end{array} \right.\).          

B. \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c < 2\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c >  - 2\end{array} \right.\).          

D. \(\left\{ \begin{array}{l}b = 0\\c > 0\end{array} \right.\).

Câu 11. Hai số phức \(z = a + bi,\,\,z' = a + b'i\) bằng nhau khi:

A. \(a = b'\).            

B. a = b .

C. \(b = b'\).              

D. a = - b.

Câu 12. Số phức \(z = \dfrac{{3 + 4i}}{{2 + 3i}} + \dfrac{{5 - 2i}}{{2 - 3i}}\) bằng:

A. \(\dfrac{{34}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i\).    

B. \(\dfrac{{34}}{{13}} - \dfrac{{10}}{{13}}i\).

C. \( - \dfrac{{34}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i\).         

D. \( - \dfrac{{34}}{{13}} - \dfrac{{10}}{{13}}i\).

Câu 13. Cho hai nghiệm \({z_1} =  - \sqrt 3  + i\sqrt 2 \,,\,\,{z_2} =  - \sqrt 3  - i\sqrt 2 \). Phương trình bậc hai có nghiệm là hai nghiệm trên là:

A. \({z^2} + 3\sqrt 2 z + 5 = 0\).  

B. \({z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\).

C. \({z^2} - 2\sqrt 3 z + 5 = 0\).

D. \({z^2} + 5z + 2\sqrt {3 = 0} \).

Câu 14. Cho số phức  thỏa mãn điều kiện \(|z - 2 + 2i| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\).

A. \(\max |z| = 2\sqrt 2  + 1\).    

 B. \(\max |z| = 2\sqrt 2 \).

C. \(\max |z| = 2\sqrt 2  + 2\)

D. \(\max |z| = 2\sqrt 2  - 1\).

Câu 15. Phần thực và phần ảo của số phức \(z = {\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)^2}\) là:

A. 1 và 3. 

B. 1 và – 3 .

C. – 2 và \(2\sqrt 3 \).   

D. 2 và \( - 2\sqrt 3 \).

Câu 16. Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x – 4y – 3 =0, \(|z|\) nhỏ nhất bằng:

A. \(\dfrac{1}{5}\)                              B. \(\dfrac{4}{5}\)        

C.\(\dfrac{2}{5}\)                               D. \(\dfrac{3}{5}\).

Câu 17. Mô đun của số phức z thỏa mãn \(\overline z  = 8 - 6i\) là:

A. 2                                B. 10  

C. 14                              D. \(2\sqrt 7 \).

Câu 18. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z| = 3\) là:

A. Hai đường thẳng .

B. Đường tròn bán kính bằng 3.

C. Đường tròn bán kính bằng 9.

D. Hình tròn bán kính  bằng 3.

Câu 19. Cho \(z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)\). Chọn mệnh đề đúng.

A. r là acgumen của z. 

B. r là mô đun của z.

C. \(\cos \varphi \) là acgumen của z.     

D. \(\sin \varphi \) là acgumen của z.

Câu 20. Tích của hai số phức \({z_1} = 3 + 2i\,,\,\,{z_2} = 2 - 3i\) là;

A. 6 – 6i .                  

B. 12 + 12i.

C. 12 – 5i.              

D. 12 + 5i.

Câu 21. Số phức z có mô đun r = 3 và acgumen \(\varphi  = \pi \) thì có dạng lượng giác là:

A. \(z = 3\left( {\cos 2\pi  + i\sin 2\pi } \right)\). 

B. \(z = 3\left( {\cos \left( { - \pi } \right) + i\sin \left( { - \pi } \right)} \right)\).

C. \(z = 3\left( {\sin \pi  + i\cos \pi } \right)\).

D. \(z = 3\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3}}\pi  + i\cos 3\pi } \right)\).

Câu 22. Phương trình \({z^2} + 4z + 13 = 0\)có các nghiệm là;

A. \(2 \pm 3i\).    

B. \(4 \pm 6i\).

C. \( - 4 \pm 6i\).  

D. \( - 2 \pm 3i\)

Câu 23. Gọi \(\varphi \) là 1 acgumen cảu số phức z có biểu diễn là \(M\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)nằm trên đường tròn đơn vị, số đo nào sau đây có thể là một acgumen của z ?

A. \(\dfrac{\pi }{2}\)                          B. \(\dfrac{\pi }{3}\)      

C. \(\dfrac{\pi }{4}\)                          D. \(\dfrac{\pi }{6}\).

Câu 24. Tìm điểm M biểu diễn số phức z = 3 - 4i.

A. M ( 3 ; - 4).             B. M (3 ; 4).

C. M ( -3 ; 4).              D. M (-4  ; 3).

Câu 25. Cho số phức z = 6 + 8i. Giá trị của \(S = 2|z| - 1\) bằng bao nhiêu ?

A. S = 10.                    B. S = 19.

C. S = 11.                    D. S = 15.

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
C	C	D	C	B
6	7	8	9	10
D	C	A	D	D
11	12	13	14	15
C	A	B	A	C
16	17	18	19	20
D	B	B	B	C
21	22	23	24	25
B	D	D	A	B

 Lời giải chi tiết 

Câu 1: C

\(\begin{array}{l}2z - \left( {3 + 4i} \right) = 5 - 2i\\ \Leftrightarrow 2z = 5 - 2i + 3 + 4i\\ \Leftrightarrow 2z = 8 + 2i\\ \Leftrightarrow z = 4 + i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{4^2} + 1}  = \sqrt {17} \end{array}\)

Câu 2: C

\(\begin{array}{l}z = {\left( {\dfrac{{1 + 2i}}{{2 - i}}} \right)^{2022}}\\\;\; = {\left[ {\dfrac{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {2 + i} \right)}}{{{2^2} - {i^2}}}} \right]^{2022}}\\\,\,\, = {\left[ {\dfrac{{2 + 5i + 2{i^2}}}{5}} \right]^{2022}}\\\;\; = {i^{2022}} = {\left( {{i^2}} \right)^{1011}}\\\,\,\, = {\left( { - 1} \right)^{1011}} =  - 1\end{array}\)

Câu 3: D

Câu 4:C

\(z = 1 - i\sqrt 3 \)

Số phức liên hợp của z là \(\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 - i\sqrt 3 }} = \dfrac{{1 + i\sqrt 3 }}{{1 - 3{i^2}}} \)\(\;= \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i\)

Câu 5: B

Đặt  z = a + bi       \(a,b \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{z} = \overline z \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{a + bi}} = a - bi\\ \Rightarrow 1 = \left( {a + bi} \right)\left( {a - bi} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = {a^2} - {b^2}{i^2}\\ \Rightarrow 1 = {a^2} + {b^2}\\ \Rightarrow 1 = \left| z \right|\end{array}\)

Câu 6: D

Đặt z = a + bi                            \(a,b \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l}z - \overline z  = a + bi - \left( {a - bi} \right) = 2bi\\z + \overline z  = a + bi + \left( {a - bi} \right) = 2a\\\left| {{z^2}} \right| = \left| {{{\left( {a + bi} \right)}^2}} \right| = \left| {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right|\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}^2} + 4{a^2}{b^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{a^4} + 2{a^2}{b^2} + {b^4}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}  = {a^2} + {b^2}\\z\overline z  = (a + bi)\left( {a - bi} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = {a^2} - {b^2}{i^2} = {a^2} + {b^2}\end{array}\)

Câu 7: C

\(i(2 - i)(3 + i) = i\left( {6 - i - {i^2}} \right) \)\(\,= i\left( {7 - i} \right) = 1 + 7i\)

Câu 8: A

\(\)\(\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 2z + 1} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} =  - 1\\ \Rightarrow {\left( {z - 1} \right)^2} = {i^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z - 1 = i\\z - 1 =  - i\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_1} = 1 + i\\{z_2} = 1 - i\end{array} \right.\end{array}\)

Có \(\begin{array}{l}P = \left| {\dfrac{1}{{{z_1}}} + \dfrac{1}{{{z_2}}}} \right| = \left| {\dfrac{1}{{1 + i}} + \dfrac{1}{{1 - i}}} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {\dfrac{{1 - i + 1 + i}}{{\left( {1 + i} \right)\left( {1 - i} \right)}}} \right| = \left| {\dfrac{1}{{1 - {i^2}}}} \right| = 1\end{array}\)

Câu 9: D

Câu 10: D

Để pt \(2{z^2} - bz + c = 0\)có hai nghiệm thuần ảo

  \(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta  < 0\\ \Rightarrow {b^2} - 4.2.c < 0\\ \Rightarrow {b^2} - 8c < 0\end{array}\)

Câu 11: C

Câu 12:A

\(\begin{array}{l}z = \dfrac{{3 + 4i}}{{2 + 3i}} + \dfrac{{5 - 2i}}{{2 - 3i}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {3 + 4i} \right)\left( {2 - 3i} \right) + \left( {5 - 2i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}}{{4 - 9{i^2}}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{6 - i - 12{i^2} + 10 + 11i - 6{i^2}}}{{13}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{34}}{{13}} + \dfrac{{10}}{{13}}i\end{array}\)

Câu 13: B

PT bậc hai có 2 nghiệm  \({z_1} =  - \sqrt 3  + i\sqrt 2 ;{z_2} =  - \sqrt 3  - i\sqrt 2 \):

\(\begin{array}{l}\left[ {z - \left( { - \sqrt 3  + i\sqrt 2 } \right)} \right]\left[ {z - \left( { - \sqrt 3  - i\sqrt 2 } \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} + 2\sqrt 3 z + 3 - 2{i^2} = 0\\ \Leftrightarrow {z^2} + 2\sqrt 3 z + 5 = 0\end{array}\)

Câu 14: A

Đặt z = x +yi               M (x, y)

\(\begin{array}{l}\left| {z - 2 + 2i} \right| = 1\\ \Rightarrow \left| {x + yi - 2 + 2i} \right| = 1\\ \Rightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 2} \right)i} \right| = 1\\ \Rightarrow \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 2)}^2}}  = 1\end{array}\)

Tập hợp  các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2,-2), bán kính r=1

Ta có \(\left| z \right| = \left| {x = yi} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Lấy H( 0, 0) và M( x, y) thì \(HM = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn

Với  H( 0, 0) và I( 2, -2) nên \(\overrightarrow {HI}  = (2, - 2)\)

Phương trình đường  thẳng HI:

\((1)\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 2t\end{array} \right.\)

Do HI giao với đường tròn nên ta thay (1) vào pt đường tròn, ta được:

\(\begin{array}{l}{\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( { - 2t + 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 8{\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {(t - 1)^2} = \dfrac{1}{8}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\\t - 1 = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \\t = 1 - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow {M_1}\left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) \(\Rightarrow H{M_1} = 2\sqrt 2  + 1\)

\(\Rightarrow {M_2}\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \) \(\Rightarrow H{M_2} = 2\sqrt 2  - 1\)

\( \Rightarrow {\left| z \right|_{{\rm{max}}}} = H{M_1} = 2\sqrt 2  + 1\)  với \({M_1}\left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)

Câu 15: C

\(z = {\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)^2} = 1 + 2\sqrt 3 i + 3{i^2}\)\(\, =  - 2 + 2\sqrt 3 i\)

phần thực: -2 ; phần ảo: \(2\sqrt 3 \)

Câu 16: D

\(\left( \Delta  \right):3x - 4y - 3 = 0\)

Đặt z= x+yi

\(\left| z \right| = \left| {x + yi} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

L ấy O(0, 0).

Ta  có |z|_min khi kh oảng  c ách t ừ O đ ến \(\left( \Delta  \right)\) l à ng ắn nh ất

\({\left| z \right|_{\min }} = d(O',\Delta ) = \dfrac{{\left| {3.0 - 4.0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} \)\(\,= \dfrac{3}{5}\)

Câu 17: B

\(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{8^2} + {6^2}}  = 10\)

Câu 18: B

Đặt z = x + yi

\(\begin{array}{l}\left| z \right| = 3 \Rightarrow \left| {x + yi} \right| = 3\\ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 3\end{array}\)

Tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn tâm 0( 0, 0), bán kính bằng 3

Câu 19: B

Câu 20: C

Với z₁= 3 + 2i , z₂= 2 – 3i

\({z_1}.{z_2} = \left( {3 + 2i} \right)\left( {2 - 3i} \right) \)\(\,= 6 - 5i - 6{i^2} = 12 - 5i\)

Câu 21: B

Câu 22: D

\(\begin{array}{l}{z^2} + 4z + 13 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 4z + 4} \right) + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {z + 2} \right)^2} =  - 9\\ \Rightarrow {\left( {z + 2} \right)^2} = 9{i^2}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z + 2 = 3i\\z + 2 =  - 3i\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z =  - 2 + 3i\\z =  - 2 - 3i\end{array} \right.\end{array}\)

Câu 23: D

Câu 24: A

Câu 25: B