Đề cương ôn tập học kỳ II môn toán lớp 7

Đại

PHẦN ĐẠI SỐ

I. Bài toán về thống kê

1. Dấu hiệu

Số liệu thống kê là các số liệu thu thập được khi điều tra về một dấu hiệu. Mỗi số liệu là một giá trị của dấu hiệu

Số tất cả các giá trị (không nhất thiết khác nhau) của dấu hiệu bằng số các đơn vị điều tra.

2. Tần số

Số lần xuất hiện của một giá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu được gọi là tần số của giá trị đó.

3. Bảng tần số của dấu hiệu

* Từ bảng thu thập số liệu ban đầu ta có thể lập bảng tần số.

Bảng “tần số” thường được lập như sau:

+ Vẽ một khung hình chữ nhật gồm hai dòng

+ Dòng trên ghi các giá trị khác nhau của dáu hiệu theo thứ tự tăng dần

+ Dòng dưới ghi các tần số tương ứng với mỗi giá trị đó.

Ta cũng có thể lập bảng tần số theo hàng dọc.

4. Biểu đồ

* Biểu đồ đoạn thẳng:

+ Dựng hệ trục tọa độ, trục hoành biểu diễn các giá trị x, trục tung biểu diễn tần số n (độ dài đơn vị trên hai trục có thể khác nhau).

+ Xác định các điểm có tọa độ là cặp số gồm giá trị và tần số của nó (giá trị viết trước, tần số viết sau).

+ Nối mỗi điểm đó với điểm trên trục hoành có cùng hoành độ.

5. Số trung bình cộng

Dựa vào bảng “tần số”, ta có thể tính số trung bình cộng (kí hiệu \(\overline X \)) như sau:

+ Nhân từng giá trị với tần số tương ứng;

+ Cộng tất cả các tích vừa tìm được;

+ Chia tổng đó cho số các giá trị (tức là tổng các tần số).

+ Công thức tính: \(\overline X  = \dfrac{{{x_1}{n_1} + {x_2}{n_2} + {x_3}{n_3} + ... + {x_k}{n_k}}}{N},\) trong đó:

\({x_1},{x_2},...,{x_k}\) là k giá trị khác nhau của dấu hiệu X.

\({n_1},{n_2},...,{n_k}\) là k tần số tương ứng.

\(N\)  là số các giá trị.

6. Mốt của dấu hiệu

Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng “tần số”, kí hiệu là \({M_0}.\)

Có những dấu hiệu có hai mốt hoặc nhiều hơn

II. Bài toán về đơn thức, đa thức

1. Biểu thức đại số

Trong biểu thức đại số

+ Những chữ đại diện cho một số tùy ý gọi là biến số

+ Những chữ đại diện cho một số xác định gọi là hằng số

2. Để tính giá trị của một biểu thức đại số ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc).

+ Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân, chia sau đó là phép cộng trừ).

3. Đơn thức

a) Định nghĩa

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Số \(0\) được gọi là đơn thức không.

b) Đơn thức thu gọn

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Số nói trên gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến của đơn thức thu gọn.

c) Bậc của đơn thức

+ Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó.

+ Số thực khác 0 là đơn thức bậc không

d) Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.

e) Đơn thức đồng dạng

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến. Các số khác 0 được coi là những đơn thức đồng dạng.

f) Cộng, trừ đơn thức đồng dạng

Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

4. Đa thức

a) Định nghĩa

Đa thức là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. Mỗi đơn thức được coi là đa thức.

b) Thu gọn đa thức

Đưa đa thức về dạng thu gọn (không còn hai hạng tử nào đồng dạng).

Bước 1: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;

Bước 2: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm

c) Bậc của đa thức

+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

+ Số 0 cũng được gọi là đa thức không và nó không có bậc.

Khi tìm bậc của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

d) Cộng-trừ đa thức

Để cộng (hay trừ) hai đa thức, ta làm như sau:

Bước 1: Viết hai đa thức trong dấu ngoặc;

Bước 2: Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc);

Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng

Bước 4: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng.

5. Đa thức một biến

a) Định nghĩa

+ Là tổng của những đơn thức của cùng một biến

+ Mỗi số được coi là một đa thức một biến

+ Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

b) Sắp xếp đa thức

Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

+ Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết phải thu gọn đa thức đó.

+ Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được gọi là hằng số.

c) Hệ số

Hệ số của lũy thừa 0 của biến gọi là hệ số tự do; hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất.

Để cộng (hay trừ) các đa thức một biến, ta làm như sau

Cách 1: Cộng, trừ đa thức theo “hàng ngang”

Cách 2: Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến. rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột).

6. Nghiệm đa thức một biến

Định nghĩa: Nếu tại \(x = {x_0},\)đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói \({x_0}\)  (hoặc \(x = {x_0}\) ) là một nghiệm của đa thức đó.

---

Hình

PHẦN HÌNH HỌC

1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Định lý 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn

Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

a. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lí: Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.

b. Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu

Định lí: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

+ Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

+ Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

+ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác, bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh kia.

Ta có bất đằng thức tam giác: Trong tam giác \(ABC\) ta có: \(\left| {AC - AB} \right| < BC < AC + AB\)

4. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

5. Tính chất tia phân giác của một góc

Định lí: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

Định lí: Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó.

6. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Định lí: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó

7. Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Định nghĩa: Đường trung trực của mọt đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng ấy tại trung điểm của nó.

Định lí: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.

Định lí: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Nhận xét:

Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

8. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Định lí: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy này.

Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

9. Tính chất ba đường cao của tam giác

Định lí: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Định lí: Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó.

Nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.