CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (trang 31 SGK Hình học 12 Nâng cao)

1. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất (A) Năm cạnh (B) Bốn cạnh (C) Ba cạnh (D) Hai cạnh. 2. Cho khối chóp có đáy là n-giác. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? (A) Số cạnh của khối chóp bằng n + 1 ; (B) Số mặt của khối chóp bằng 2n ; (C) Số đỉnh của khối chóp bằng 2n + 1 ; (D) Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.

Câu 1

Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất

(A) Năm cạnh (B) Bốn cạnh

Giải chi tiết:

Chọn C

Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh

Câu 2

Cho khối chóp có đáy là \(n\)-giác. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

(A) Số cạnh của khối chóp bằng \(n + 1\) ;

(B) Số mặt của khối chóp bằng \(2n\) ;

(D) Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.

Giải chi tiết:

Chọn D

Số mặt của khối chóp bằng số đỉnh của nó.

Câu 3

Phép đối xứng qua mp \((P) \) biến đường thẳng \(d\) thành chính nó khi và chỉ khi:

(A) \(d\) song song với \((P)\)

(B) \(d\) nằm trên \((P)\)

(D) \(d\) nằm trên \((P)\) hoặc \(d \bot \left( P \right)\)

Giải chi tiết:

Chọn D

Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thẳng d thành chính nó khi và chỉ khi d nằm trên (P) hoặc \(d \bot \left( P \right)\).

Câu 4

Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) cắt nhau. Có bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng biến \(d\) thành \(d’\)?

(A) Có một (B) Có hai

Giải chi tiết:

Chọn B

Có hai phép đối xứng qua mặt phẳng biến \(d\) thành \(d’\).

Câu 5

Có hai đường thẳng phân biệt \(d\) và \(d’\) đồng phẳng. Có bao nhiêu phép đối xứng qua mặt phẳng biến \(d\) thành \(d’\)?

(A) Không có (B) Có một

Giải chi tiết:

Chọn D

Câu 6

Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

(A) Một (B) Hai (C) Ba (D) Bốn

Giải chi tiết:

Chọn D

Hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(4\) mặt phẳng đối xứng là: mp \((SAC)\), mp \((SBD)\), mp trung trực của đoạn \(AB\) và mặt phẳng trung trực của đoạn \(AD\). Chọn D.

Câu 7

Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

(A) Một (B) Hai (C) Ba (D) Bốn

Giải chi tiết:

Hình hộp đứng \(ABCD.A’B’C’D’\) có đáy là hình thoi (không là hình vuông) có 3 mặt phẳng đối xứng, đó là ba mặt phẳng trung trực của ba cạnh \(AB, AD, AA’\).

Chọn C.

Câu 8

Cho phép vị tự tâm \(O\) biến điểm \(A\) thành điểm \(B\), biết rằng \(OA=2OB\). Khi đó tỉ số phép vị tự là bao nhiêu?

(A) \(2\) (B) \(– 2\) (C) \( \pm {1 \over 2}\) (D) \({1 \over 2}\)

Giải chi tiết:

Giả sử \({V_k}:A \to B\) thì \(\overrightarrow {OB} = k\overrightarrow {OA} \Rightarrow OB = \left| k \right|OA \Rightarrow \left| k \right| = {1 \over 2} \Rightarrow k = \pm {1 \over 2}\). Chọn C.

Câu 9

Cho hai đường thẳng song song \(d\) và \(d’\) và một điểm \(O\) không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm \(O\) biến \(d\) thành \(d’\)?

(A) Có một (B) Không có

Giải chi tiết:

Chọn D.

Câu 10

Khối tám mặt đều thuộc loại:

(A) \(\left\{ {3;3} \right\}\) (B) \(\left\{ {4;3} \right\}\)

Khối tám mặt đều thuộc loại:

(A) \(\left\{ {3;3} \right\}\) (B) \(\left\{ {4;3} \right\}\)

Giải chi tiết:

Chọn D.

Câu 11

Khối hai mươi mặt đều thuộc loại:

(A) \(\left\{ {3;4} \right\}\) (B) \(\left\{ {3;5} \right\}\)

Giải chi tiết:

Chọn B

Câu 12

Nếu ba kích thước của một khối hộp chữ nhật tăng lên \(k\) lần thì thể tích của nó tăng lên:

(A) \(k\) lần (B) \({k^2}\) lần

Giải chi tiết:

\(a' = ka,b' = kb,c' = kc\)

\(V' = a'b'c' = {k^3}abc = {k^3}V\).

Chọn C.

Câu 13

Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng \(96\). Thể tích của khối lập phương đó là:

(A) \(64\) (B) \(91\) (C) \(84\) (D) \(48\)

Giải chi tiết:

Tổng diện tích các mặt của hình lập phương cạnh a bằng \(6{a^2} = 96 \Rightarrow a = 4\)

Thể tích khối lập phương đó là \(V = {a^3} = 64\).

Chọn A.

Câu 14

Ba kích thước của một khối hộp chữ nhật làm thành một cấp số nhân có công bội là \(2\). Thể tích hình hộp đã cho là \(1728\). Khi đó các kích thước của hình hộp là:

(A) \(8, 16, 32\) (B) \(2, 4, 8\)

Giải chi tiết:

Ba kích thước của hình hộp chữ nhật là \(a,2a,4a\)

Thể tích hình hộp là: \(V = a.2a.4a = 8{a^3} = 1728 \Leftrightarrow a = 6\).

Chọn D.

Câu 15

Các đường chéo của các mặt của hình hộp chữ nhật bằng \(\sqrt 5 ,\sqrt {10} ,\sqrt {13} \). Thể tích của hình hộp đó là:

(A) \(4\) (B) \(5\) (C) \(6\) (D) \(12\)

Giải chi tiết:

Gọi kích thước của hình hộp chữ nhật là a, b, c.
Ta có:

\(\eqalign{
& {a^2} + {b^2} = 5,{b^2} + {c^2} = 10,{c^2} + {a^2} = 13 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = {1 \over 2}\left( {5 + 10 + 13} \right) = 14 \cr
& \Rightarrow {a^2} = 4,{b^2} = 1,{c^2} = 9 \Rightarrow a = 2,b = 1,c = 3 \cr
& \Rightarrow V = abc = 2.1.3 = 6 \cr} \)

Chọn C.

Câu 16

Một khối lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy bằng \(37, 13, 30\) và diện tích xung quanh bằng \(480\). Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

(A) \(2010\) (B) \(1010\)

Giải chi tiết:

Chu vi đáy: \(C = 80\)

Diện tích đáy: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 180\)

Diện tích xung quanh \({S_{xq}} = C.h = 480\)

Chiều cao lăng trụ \(h = {{480} \over {80}} = 6\)

Thể tích của khối lăng trụ \(V = S.h = 180.6 = 1080\)

Chọn C.

Câu 17

Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng \(13, 14, 15\), cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \({30^0}\) và có chiều dài bằng \(8\). Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

(A) \(340\) (B) \(336\)

Giải chi tiết:

Gọi H là hình chiếu của A trên mp(A’B’C’)

Ta có: \(\widehat {AA'H} = {30^0}\,\,;\,\,AA' = 8\,\,;\,\,AH = AA\sin {30^0} = 4\)

Diện tích đáy \({S_{A'B'C'}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 84\)

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = S.h = 84.4 = 336\)

Chọn B.

Câu 18

Đáy của một hình hộp đứng là hình thoi cạnh \(a\), góc nhọn \({60^0}\). Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp. Khi đó thể tích của hình hộp là:

(A) \({a^3}\) (B) \({a^3}\sqrt 3 \)

Giải chi tiết:

Tam giác A’B’C’ là tam giác đều cạnh a

Ta có:

\(\eqalign{
& A'C' = a,B'D' = 2B'O' = a\sqrt 3 = A'C \cr
& \Rightarrow CC' = \sqrt {A'{C^2} - A'C{'^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \cr} \)

Diện tích đáy \({S_{A'B'C'D'}} = {1 \over 2}A'C'.B'D' = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)

Thể tích khối hộp: \(V = S.h = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.a\sqrt 2 = {{{a^3}\sqrt 6 } \over 2}\)

Chọn D.

Câu 19

Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm \(2cm\) thì thể tích của nó tăng thêm \(98c{m^3}\). Cạnh của hình lâp phương đã cho là:

(A) \(4cm\) (B) \(5cm\)

Giải chi tiết:

Gọi \(a\) là độ dài cạnh hình lập phương.

Ta có phương trình \({\left( {a + 2} \right)^3} - {a^3} = 98 \Leftrightarrow 3{a^2} + 6a - 45 = 0 \Leftrightarrow a = 3\)

Chọn D.

Câu 20

Cho một hình hộp với sáu mặt đều là hình thoi cạnh \(a\), góc nhọn bằng \({60^0}\). Khi đó thể tích của hình hộp là:

(A) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}\) (B) \({{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}\)

Giải chi tiết:

\(\Delta A'B'C'\) đều cạnh a

\(A'C' = a\,\,;\,\,B'D' = 2B'O' = a\sqrt 3 \)

Tương tự \(BA' = BC' = BB' = a\) nên hình chiếu \(H\) của \(B\) trên mp(A’B’C’D’) là tâm của tam giác đều \(A’B’C’\)

Ta có: \(BH = \sqrt {BB{'^2} - B'{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{{a^2}} \over 3}} = {{a\sqrt 6 } \over 3}\)

\({S_{A'B'C'D'}} = {1 \over 2}A'C'.B'D' = {1 \over 2}a.a\sqrt 3 = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}\)

Thể tích khối hộp là: \(V = B.h = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 3} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}\)

Chọn B.

Câu 21

Cho một hình lập phương có cạnh bằng \(a\). Khi đó thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là tâm của các mặt của hình lập phương đã cho bằng:

(A) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}\) (B) \({{{a^3}\sqrt 2 } \over 9}\)

Giải chi tiết:

Ta có khối tám mặt đều có cạnh bằng \({{a\sqrt 2 } \over 2}\) ( theo bài 14 trang 20)

Thể tích khối tám mặt đều là \(V = 2{V_{M.PQRS}} = 2.{1 \over 3}.{a \over 2}{\left( {{{a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {{{a^3}} \over 6}\)

Chọn D.

Câu 22

Cho khối tứ diện đều có cạnh bằng \(a\). Khi đó, thể tích của khối tám mặt đều mà các đỉnh là trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho là:

(A) \({{{a^3}\sqrt 2 } \over {24}}\) (B) \({{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

Giải chi tiết:

Khối tám mặt đều đã cho có cạnh là \({a \over 2}\) và \(RS = MP = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

Thể tích khối tám mặt đều là \(V = 2.{V_{R.MNPQ}} = 2.{1 \over 3}.{{RS} \over 2}.{S_{MNPQ}} = 2.{1 \over 3}.{{a\sqrt 2 } \over 4}.{{{a^2}} \over 4} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over {24}}\)

Chọn A

Câu 23

Cho khối \(12\) mặt đều \((H)\) có thể tích \(V\) và diện tích mỗi mặt của nó bằng . Khi đó tổng các khoảng cách từ một điểm nằm trong \((H)\) đến các mặt của nó bằng:

(A) \({{3V} \over {4S}}\) (B) \({V \over {4S}}\)

Giải chi tiết:

Gọi \({h_1},{h_2},...,{h_{12}}\) là khoảng cách từ M nằm trong (H) đến các mặt của khối 12 mặt đều

Ta có: \(V = {1 \over 2}{h_1}S + {1 \over 3}{h_2}S + ... + {1 \over 3}{h_{12}}S = {1 \over 3}S\left( {{h_1} + {h_2} + ... + {h_{12}}} \right)\)

Suy ra \({h_1} + {h_2} + ... + {h_{12}} = {{3V} \over S}\)

Chọn C.

Câu 24

Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng \(19, 20, 37\), chiều cao của khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy. Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

(A) \(2888\) (B) \(1245\sqrt 2 \) (C) \(1123\) (D) \(4273\)

Giải chi tiết:

Chiều cao của lăng trụ bằng: \(h = {1 \over 3}\left( {19 + 20 + 37} \right) = {{76} \over 3}\)

Diện tích đáy \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 114\)

Thể tích khối lăng trụ \(V = S.h = {{76} \over 3}.114 = 2888\)

Chọn A.

Câu 25

Đáy của một hình hộp là một hình thoi có cạnh bằng \(6cm\) và góc nhọn bằng \({45^0}\), cạnh bên của hình hộp dài \(10cm\) và tạo với mặt phẳng đáy một góc \({45^0}\). Khi đó thể tích của hình hộp là:

(A) \(124\sqrt 3 \,\,c{m^3}\) (B) \(180\,\,c{m^3}\)

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B’\) trên mp \((ABCD)\)

\(B'H = BB'.\sin {45^0} = 10.{{\sqrt 2 } \over 2} = 5\sqrt 2 \)

Diện tích đáy \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = {a^2}\sin {45^0} = {{{a^2}\sqrt 2 } \over 2} = 18\sqrt 2 \)

Thể tích hình hộp \({V_{ABCD}} = {S_{ABCD}}.B'H = 18\sqrt 2 .5\sqrt 2 = 180\)

Chọn B.

Câu 26

Với một tấm bìa hình vuông, người ta cắt bỏ ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh \(12cm\) rồi gấp lại thành nột hình hộp chữ nhật không có nắp. Nếu dung tích của cái hộp đó là \(4800\) \(c{m^3}\) thì cạnh tấm bìa đó có độ dài là:

(A) \(42cm\) (B) \(36cm\)

Giải chi tiết:

Gọi cạnh tấm bìa là \(x\) thì diện tích đáy hình hộp là \(S = {\left( {x - 24} \right)^2}\)

Thể tích hình hộp là \(V = S.h = 12{\left( {x - 24} \right)^2} = 4800 \Leftrightarrow x = 44\,\,cm\)

Chọn C.

Câu 27

Cho một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha \). Thể tích của hình chóp đó là:

(A) \({{{a^3}\cot \alpha } \over {12}}\) (B) \({{{a^3}tan\alpha } \over {12}}\)

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) thì \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)

\(\tan \alpha = {{SH} \over {AH}} \Rightarrow SH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\tan \alpha \)

Thể tích hình chóp là: \(V = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SH = {1 \over 3}{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}{{a\sqrt 3 } \over 3}\tan \alpha = {{{a^3}\tan \alpha } \over {12}}\)

Chọn B.

Câu 28

Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng \(b\) và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc \(\alpha \). Thể tích của hình chóp là:

(A) \({3 \over 4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \) (B) \({{\sqrt 3 } \over 4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \)
(C) \({3 \over 4}{b^3}\cos \alpha {\sin ^2}\alpha \) (D) \({{\sqrt 3 } \over 4}{b^3}\cos \alpha \sin \alpha \)

Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là tâm của tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\).

\(SH \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\widehat {SAH} = \alpha \). I là trung điểm của BC, \(AH = {2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

Trong tam giác vuông AHS có \(\cos \alpha = {{AH} \over {SA}} \Rightarrow b\cos \alpha = {{a\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow a = b\sqrt 3 \cos \alpha \)

Diện tích tam giác ABC: \({S_{ABC}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{3\sqrt 3 } \over 4}{b^2}{\cos ^2}\alpha \)

Mặt khác \(SH = SA\sin \alpha = b\sin \alpha \)

Thể tích hình chóp là \(V = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SH = {{\sqrt 3 } \over 4}{b^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \)

Chọn B.

Câu 29

Cho hình chóp tứ giác đêu \(H\) có diện tích đáy bằng \(4\) và diện tích của một mặt bên bằng \(\sqrt 2 \). Thể tích của \(H\) là:

(A) \({{4\sqrt 3 } \over 3}\) (B) \(4\) (C) \({4 \over 3}\) (D) \({{4\sqrt 3 } \over 2}\)

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, I là trung điểm của CD

\(\eqalign{
& SO \bot \left( {ABCD} \right),{S_{ABCD}} = 4 = C{D^2} \Rightarrow CD = 2 \cr
& {S_{SCD}} = {1 \over 2}SI.CD = \sqrt 2 \Rightarrow SI = \sqrt 2 \cr
& S{O^2} = S{I^2} - O{I^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - {1^2} = 1 \Rightarrow SO = 1 \cr
& {V_H} = {1 \over 3}SO.{S_{ABCD}} = {4 \over 3} \cr} \)

Chọn C.

Câu 30

Một khối chóp tam giác có cạnh đáy bằn \(6, 8, 10\). Một cạnh bên có độ dài bằng \(4\) và tạo với đáy góc \({60^0}\). Thể tích của khối chóp đó là:

(A) \(16\sqrt 3 \) (B) \(8\sqrt 3 \) (C) \(16{{\sqrt 2 } \over 3}\) (D) \(16\pi \)

Giải chi tiết: