Câu 7 trang 62 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Trong mặt phẳng cho một tập hợp \(P\) gồm \(n\) điểm. Hỏi :

LG a

Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ?

Phương pháp giải:

Giả sử \(P{\rm{ }} = {\rm{ }}\{ {A_1};{\rm{ }}{A_2};{\rm{ }}{A_3};{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}{A_n}\} \).

Với mỗi tập con \(\{ {A_1};{\rm{ }}{A_2}\} {\rm{ }}\left( {i{\rm{ }} \ne {\rm{ }}j} \right)\), ta tạo được đoạn thẳng \({A_i}{A_j}\).

Ngược lại, mỗi đoạn thẳng với hai đầu mút là hai điểm \({A_j},{\rm{ }}{A_i}\) tương ứng với tập con \(\{ {A_j},{\rm{ }}{A_i}\} \).

Thứ tự hai đầu mút không quan trọng : Đoạn thẳng \({A_i}{A_j}\) và đoạn thẳng \({A_j}{A_i}\) chỉ là một đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết:

Mỗi cách chọn ra 2 điểm trong tập hợp P có n điểm và nối chúng lại ta được một đoạn thẳng. (không phân biệt thứ tự)

Vậy số đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm thuộc \(P\) chính bằng số tổ hợp chập 2 của \(n\) phần tử, tức là \(C_n^2 = {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}.\)

LG b

Có bao nhiêu vecto khác vecto \(\overrightarrow 0 \) mà điểm đầu và điểm cuối thuộc P ?

Phương pháp giải:

Với mỗi bộ hai điểm có sắp thứ tự \(({A_i},{\rm{ }}{A_j}) (i ≠ j)\) ta tạo được một vecto \(\overrightarrow {{A_i}{A_j}} \) ứng với một bộ hai điểm có sắp thứ tự \(({A_i},{\rm{ }}{A_j})\), \(A_i\) là điểm gốc, \(A_j\) là điểm ngọn. Thứ tự hai điểm ở đây quan trọng vì \(\overrightarrow {{A_i}{A_j}} \,và \,\overrightarrow {{A_j}{A_i}} \) là hai vecto khác nhau.

Lời giải chi tiết:

Mỗi cách chọn ra 2 phân tử trong tập hợp P gồm n phần tử và sắp xếp thứ tự cho chúng sẽ được một véc tơ.

Do đó số vecto cần tìm bằng số chỉnh hợp chập \(2\) của \(n\) phần tử, tức là bằng  \(A_n^2 = n\left( {n - 1} \right).\)