Câu 6 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Với mỗi số nguyên dương n, đặt \({u_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\)   (1) .Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có u_n chia hết cho 5.

Lời giải chi tiết

+) Với \(n = 1\), ta có:

\({u_1} = {7.2^{2.1 - 2}} + {3^{2.1 - 1}} \)\(= 7 + 3 = 10\vdots\) \( 5\)

Suy ra (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k, k \in \mathbb N^*\), tức là:

\({u_k} = [{7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}]\) \(\vdots\) \( 5\)

+) Ta sẽ chứng minh nó cũng đúng khi \(n = k + 1\)

Thật vậy, ta có :

\(\eqalign{
& {u_{k + 1}} = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}} \cr 
& = {7.2^{2k}} + {3^{2k + 1}} \cr&= {7.2^{2k - 2 + 2}} + {3^{2k - 1 + 2}}\cr&= {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} \cr 
& ={4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\cr&= 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + 5.{3^{2k - 1}} \cr 
& = 4.{u_k} + {5.3^{2k - 1}}\,\, \cr} \)

Vì \(u_k \) \(⋮\) \(5\) (theo giả thiết qui nạp), nên suy ra \({u_{k + 1}}\) chia hết cho \(5\) ta được điều cần chứng minh.