Câu 58 trang 178 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Tìm giới hạn của dãy số (u_n) xác định bởi

\({u_n} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}}.\)

Hướng dẫn : Với mỗi số nguyên dương k, ta có

\({1 \over {k\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over k} - {1 \over {k + 1}}\)

Lời giải chi tiết

\({u_n} = \left( {1 - {1 \over 2}} \right) + \left( {{1 \over 2} - {1 \over 3}} \right) + ... \)

          \(+ \left( {{1 \over {n - 1}}}-{1 \over n} \right) + \left( {{1 \over n} - {1 \over {n + 1}}} \right) = 1 - {1 \over {n + 1}}\)

Do đó  \(\lim {u_n} = \lim \left( {1 - {1 \over {n + 1}}} \right) = 1\)