Câu 50 trang 124 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho dãy số (u_n) xác định bởi :

\({u_1} = 3\;\text{và}\;{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh \({u_n} = {\rm{ }}3{\rm{ }}\;\left( 1 \right)\) với mọi n bằng qui nạp

+) Với \(n = 1\) ta có \({u_1} = {\rm{ }}3\), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với \(n=k\) tức là: \({u_k} = {\rm{ }}3\) 

+) Ta chứng minh \({u_{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}3\)

Thật vậy ta có  \({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k} + 6} = \sqrt {3 + 6} = 3\)

Vậy \({u_n} = {\rm{ }}3, ∀n ≥ 1\) do đó (u_n) vừa là cấp số cộng công sai \(d = 0\) vừa là cấp số nhân công bội \(q = 1\).