Câu 48 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó :

LG a

\(f\left( x \right) = {{{x^2} + 3x + 4} \over {2x + 1}}\)

Giải chi tiết:

 Tập xác định của hàm số f là \(\mathbb R\) \\(\left\{ {{1 \over 2}} \right\}\) . Hàm số phân thức hữu tỉ nên f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và  \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\)

LG b

 \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} \)

Giải chi tiết:

Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

\(\left\{ {\matrix{{1 - x \ge 0} \cr {2 - x \ge 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \le 1\)

Do đó tập xác định của hàm số f là  \(\left( { - \infty ;1} \right]\)

Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) ,ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) = \sqrt {1 - {x_0}} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\) Ngoài ra

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) = 1 = f\left( 1 \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên  \(\left( { - \infty ;1} \right]\)