Câu 47 trang 59 - 60 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Một mặt phẳng IJ cắt các cạnh AD và BC lần lượt tại N và M.

a) Cho trước điểm M, nêu cách dựng điểm N.

b) Gọi K là giao điểm của MN và IJ. Chứng minh rằng K là trung điểm của MN.

Lời giải chi tiết

(h.100)

a) Trường hợp M không phải là trung điểm của BC

Nối M với I cắt AC tại E. Nối E với J cắt AD tại N, N chính là điểm cần tìm

Trường hợp M là trung điểm của BC.

Khi đó IM // AC và (IJM) // AC. Vậy mp(IJM) cắt mp(ACD) theo giao tuyến JN // AC.

b) Vì \({{IA} \over {JD}} = {{IB} \over {JC}} = {{AB} \over {DC}}\), nên qua IJ, AD, BC có ba mặt phẳng song song (định lí Ta-lét đảo).

Ba mặt phẳng này cắt hai đường thẳng AB và NM tại các điểm I, A, B và K, N, M. Vì I là trung điểm của AB nên K là trung điểm của MN (định lí Ta-lét).