Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hai hình bình hành ABCD VÀ ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho MC = 2AM, NF = 2BN. Qua M, N, kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M₁, N₁. Chứng minh rằng:

a. MN // DE

b. M₁N₁ // mp(DEF)

c. mp(MNN₁M₁) // mp(DEF)

Lời giải chi tiết

a. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD, ta có AO là trung tuyến và \({{AM} \over {AO}} = {{2AM} \over {AC}} = {2 \over 3}\)

⇒ M là trọng tâm của tam giác ABD , tương tự N là trọng tâm tam giác ABE

Gọi I là trung điểm của AB thì M, N lần lượt trên DI và EI

Trong tam giác IDE ta có: \({{IM} \over {ID}} = {{IN} \over {IE}} = {1 \over 3}\) nên MN // DE và \(MN = {1 \over 3}DE\)

b. Trong ∆FAB: NN₁ // AB ⇒ \({{A{N_1}} \over {AF}} = {{BN} \over {BF}} = {1 \over 3}\)

Trong ∆DAB: MM₁ // AB ⇒ \({{A{M_1}} \over {AD}} = {{DM} \over {DI}} = {1 \over 3}\)

Do đó \({{A{N_1}} \over {AF}} = {{A{M_1}} \over {AD}}\) nên M₁N₁ // DF

Mà DF ⊂ (DEF) suy ra M₁N₁ // mp(DEF)

c. Ta có : M₁N₁ // DF , NN₁ // EF

mà M₁N₁ và NN₁ cắt nhau và nằm trong mp(MNN₁M₁), còn DF và EF cắt nhau và nằm trong mp(DEF)

Vậy mp(MNN₁M₁) // mp(DEF)