Câu 32 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh rằng :

LG a

Hàm số y = tanx thỏa mãn hệ thức \(y' - {y^2} - 1 = 0\)

Phương pháp giải:

Tính y' rồi thay vào tính vế trái của các đẳng thức, kiểm tra bằng vế phải và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\)

Do đó \(y' - {y^2} - 1 \) \(= \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - {\tan ^2}x - 1 = 0\)

LG b

Hàm số y = cot2x thỏa mãn hệ thức \(y' + 2{y^2} + 2 = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = \left( {2x} \right)'.\dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}2x}} \) \(=  - 2.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}2x}} =  - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right)\).

Do đó \(y' + 2{y^2} + 2 \) \(=  - 2\left( {1 + {{\cot }^2}2x} \right) + 2{\cot ^2}2x + 2 = 0\)