Câu 26 trang 158 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

 Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số, tìm các giới hạn sau :

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} \)

Phương pháp giải:

Giới hạn phải

Giả sử hàm số \({\rm{f}}\) xác định định trên khoảng \(\left( {{x_o};b} \right)\). Ta nói rằng hàm số \({\rm{f}}\) có giới hạn bên phải là số thực \(L\) khi \(x\) tiến về \({x_o}\) nếu mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) trong khoảng \(\left( {{x_o};b} \right)\) mà \(\lim{\rm{ }}{x_n} = {x_o}\) ta đều có \(\lim{\rm{ (f(}}{x_n})) = L\).

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim}\limits_{x \to x_o^ + } {\rm{f}}\left( x \right) = L\) hoặc \({\rm{f}}\left( x \right) \to L\) khi \(x \to x_o^ + \).

Giới hạn trái

Giả sử hàm số \({\rm{f}}\) xác định định trên khoảng \(\left( {a;{x_o}} \right)\). Ta nói rằng hàm số \({\rm{f}}\) có giới hạn bên trái là số thực \(L\) khi \(x\) tiến về \({x_o}\) nếu mọi dãy \(\left( {{x_n}} \right)\) trong khoảng \(\left( {a;{x_o}} \right)\) mà \(\lim{\rm{ }}{x_n} = {x_o}\) ta đều có \(\lim{\rm{ (f(}}{x_n})) = L\).

Khi đó, ta viết: \(\mathop {\lim}\limits_{x \to x_o^ - } {\rm{f}}\left( x \right) = L\) hoặc \({\rm{f}}\left( x \right) \to L\) khi \(x \to x_o^ - \).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\)

Với mỗi dãy \(\left( {{x_n}} \right) \subset \left( {1; + \infty } \right)\) mà \(\lim {x_n} = 1\) ta có:

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \sqrt {{x_n} - 1} \)\( = \sqrt {1 - 1}  = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0\).

LG b

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( {\sqrt {5 - x} + 2x} \right)\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;5} \right]\)

Với mỗi dãy \(\left( {{x_n}} \right) \subset \left( { - \infty ;5} \right)\) mà \(\lim {x_n} = 5\) ta có:

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {\sqrt {5 - {x_n}}  + 2{x_n}} \right)\)\( = \sqrt {5 - 5}  + 2.5 = 10\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = 10\).

LG c

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {1 \over {x - 3}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Với mỗi dãy \(\left( {{x_n}} \right) \subset \left( {3; + \infty } \right)\) mà \(\lim {x_n} = 3\) ta có:

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \dfrac{1}{{{x_n} - 3}} =  + \infty \) vì \(\lim 1 = 1 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\lim \left( {{x_n} - 3} \right) = 0\\{x_n} > 3 \Rightarrow {x_n} - 3 > 0\end{array} \right.\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \dfrac{1}{{x - 3}} =  + \infty \)

LG d

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {1 \over {x - 3}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Với mỗi dãy \(\left( {{x_n}} \right) \subset \left( { - \infty ;3} \right)\) mà \(\lim {x_n} = 3\) ta có:

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \dfrac{1}{{{x_n} - 3}} =  - \infty \) vì \(\lim 1 = 1 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\lim \left( {{x_n} - 3} \right) = 0\\{x_n} < 3 \Rightarrow {x_n} - 3 < 0\end{array} \right.\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \dfrac{1}{{x - 3}} =  - \infty \)