Câu 17 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

\(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\) với \(t \in Z\) và \(0 < t \le 365.\) 

a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

LG a

Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

Lời giải chi tiết:

Ta giải phương trình \(d(t) = 12\) với \(t \in\mathbb Z\) và \(0 < t ≤ 365\)

Ta có \(d(t) = 12 \)

\( \Leftrightarrow 3\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) + 12 = 12\)

\(\Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \)

\( \Leftrightarrow t - 80 = 182k\)

\( \Leftrightarrow t = 182k + 80\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)\)

Ta lại có  

\(0 < 182k + 80 \le 365\)

\(\Leftrightarrow - {{80} \over {182}} < k \le {{285} \over {182}}\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{k = 0} \cr {k = 1} \cr} } \right.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(80\) (ứng với \(k = 0\)) và ngày thứ \(262\) (ứng với \(k = 1\)) trong năm.

LG b

Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Lời giải chi tiết:

Do \(\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \ge  - 1\) \( \Rightarrow d\left( t \right) \le 3.\left( { - 1} \right) + 12 = 9\) với mọi \(x\)

Vậy thành phố \(A\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi :

\(\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\) \(\text{ với }\) \(\,t \in \mathbb Z\,\text { và }\,0 < t \le 365\) 

Phương trình đó cho ta  

\({\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = - {\pi \over 2} + k2\pi \) 

\( \Leftrightarrow t - 80 = 182\left( { - \frac{1}{2} + 2k} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = 364k - 11\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)\)

Mặt khác,\(0 < 364k - 11 \le 365 \) \(\Leftrightarrow {{11} \over {364}} < k \le {{376} \over {364}} \Leftrightarrow k = 1\) (do \(k\) nguyên)

Vậy thành phố \(A\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất (\(9\) giờ) khi \(t = 353\), tức là vào ngày thứ \(353\) trong năm.

LG c

Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Lời giải chi tiết:

Vì \(\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 1 \) \(\Rightarrow d\left( t \right) \le 3.1 + 12 = 15\) nên d(t) đạt GTLN khi \(\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1 \)

Ta phải giải phương trình :

\(\eqalign{
& \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\cr &\text{ với }\,t \in\mathbb Z\,\text{ và }\,0 < t \le 365 \cr 
& \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = {\pi \over 2} + k2\pi \cr&\Leftrightarrow t = 364k + 171 \cr 
& 0 < 364k + 171 \le 365 \cr&\Leftrightarrow - {{171} \over {364}} < k \le {{194} \over {364}} \Leftrightarrow k = 0 \cr} \) 

Vậy thành phố \(A\) có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất (\(15\) giờ) vào ngày thứ \(171\) trong năm.