Câu 14 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau :

a.  \(\sin 4x = \sin {\pi \over 5}\)

b.  \(\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}\)

c.  \(\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2 \)

d.  \(\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}.\)

LG a

\(\sin 4x = \sin {\pi \over 5}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  

\(\sin 4x = \sin {\pi \over 5} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4x = \frac{\pi }{5} + k2\pi \\
4x = \pi - \frac{\pi }{5} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{2}\\
4x = \frac{{4\pi }}{5} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{{20}} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = \frac{\pi }{5} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array} \right.,k\in Z
\end{array}\)

LG b

\(\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \( - {1 \over 2} =- \sin {\pi \over 6} = \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right)\) nên:

\(\sin \left( {{{x + \pi } \over 5}} \right) = - {1 \over 2}= \sin \left( { - {\pi \over 6}} \right) \)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{x + \pi } \over 5} = - {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {{{x + \pi } \over 5} = \pi + {\pi \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \pi = - \frac{{5\pi }}{6} + k.10\pi \\
x + \pi = \frac{{35\pi }}{6} + k.10\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{{11\pi }}{6} + k.10\pi \\
x = \frac{{29\pi }}{6} + k.10\pi
\end{array} \right.,k\in Z
\end{array}\)

LG c

\(\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2 \)

Lời giải chi tiết:

\(\cos {x \over 2} = \cos \sqrt 2 \)

\(\Leftrightarrow {x \over 2} = \pm \sqrt 2 + k2\pi \)

\(\Leftrightarrow x = \pm 2\sqrt 2 + k4\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

LG d

\(\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}.\)

Lời giải chi tiết:

\(\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{{18}} = \pm \arccos \frac{2}{5} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \pm \arccos \frac{2}{5} - \frac{\pi }{{18}} + k2\pi ,k\in Z
\end{array}\)

Cách trình bày khác:

Vì \(0 < {2 \over 5} < 1\) nên có số \(α\) sao cho \(\cos \alpha = {2 \over 5}.\) Do đó :

\(\cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = {2 \over 5}\)

\(\Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over {18}}} \right) = \cos \alpha\)

\(\Leftrightarrow x = \pm \alpha - {\pi \over {18}} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\)