Câu 17 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40˚ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số

\(d\left( t \right) = 3\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12\,voi\,t \in \,va\,0 < t \le 365.\) 

a. Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm ?

b. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

c. Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất ?

Lời giải chi tiết

a. Ta giải phương trình \(d(t) = 12\) với \(t \in\mathbb Z\) và \(0 < t ≤ 365\)

Ta có \(d(t) = 12 \Leftrightarrow \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \)

\( \Leftrightarrow t = 182k + 80\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)\)                          

Ta lại có  

\(0 < 182k + 80 \le 365 \Leftrightarrow - {{80} \over {182}} < k \le {{285} \over {182}} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{k = 0} \cr {k = 1} \cr} } \right.\)

Vậy thành phố \(A\) có đúng \(12\) giờ ánh sáng mặt trời vào ngày thứ \(80\) (ứng với \(k = 0\)) và ngày thứ \(262\) (ứng với \(k = 1\)) trong năm.

b. Do \(\sin x ≥ -1\) với mọi \(x\) nên thành phố \(A\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất khi và chỉ khi :

\(\sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\,\text{ với }\,t \in \mathbb Z\,\text { và }\,0 < t \le 365\) 

Phương trình đó cho ta  

\({\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = - {\pi \over 2} + k2\pi \) 

\( \Leftrightarrow t = 364k - 11\,\left( {\,k \in\mathbb Z} \right)\)

Mặt khác,\(0 < 364k - 11 \le 365 \Leftrightarrow {{11} \over {364}} < k \le {{376} \over {364}} \Leftrightarrow k = 1\) (do \(k\) nguyên)

Vậy thành phố \(A\) có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất (\(9\) giờ) khi \(t = 353\), tức là vào ngày thứ \(353\) trong năm.

c. Tương tự, ta phải giải phương trình :

\(\eqalign{
& \sin \left[ {{\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\,\text{ với }\,t \in\mathbb Z\,\text{ và }\,0 < t \le 365 \cr 
& \Leftrightarrow {\pi \over {182}}\left( {t - 80} \right) = {\pi \over 2} + k2\pi \Leftrightarrow t = 364k + 171 \cr 
& 0 < 364k + 171 \le 365 \Leftrightarrow - {{171} \over {364}} < k \le {{194} \over {364}} \Leftrightarrow k = 0 \cr} \) 

Vậy thành phố \(A\) có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất (\(15\) giờ) vào ngày thứ \(171\) trong năm.