Câu 17 trang 109 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

\(\displaystyle {u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\) với mọi \(\displaystyle n ≥ 1\)

Chứng minh rằng (u_n) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_2} = \frac{2}{{u_1^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\
{u_3} = \frac{2}{{u_2^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\
...
\end{array}\)

Do đó, dự đoán \(\displaystyle u_n= 1\)  (1) \(\displaystyle ∀ n \in \mathbb N^*\).

Ta chứng minh bằng qui nạp như sau:

+) Rõ ràng (1) đúng với \(\displaystyle n = 1\)

+) Giả sử (1) đúng với \(\displaystyle n = k\), tức là ta có \(\displaystyle u_k = 1\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(\displaystyle n = k + 1\).

Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có :

\(\displaystyle {u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\)

Vậy (1) đúng với \(\displaystyle n = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi \(\displaystyle n \in \mathbb N^*\)