Bài 9 trang 23 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - 2mx + y = 5\\x + 3y = 1\end{array} \right.\)

a) Giải hệ phương trình với \(m=1\)

b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết

a) Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình ta được

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 5\\x + 3y = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + y = 5\\ - 2x - 6y =  - 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7y = 7\\x + 3y = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x + 3 = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 2;1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

Ta có:

\(\begin{array}{l} - 2mx + y = 5 \Leftrightarrow y = 2mx + 5\,\,\left( {{d_1}} \right)\\x + 3y = 1 \Leftrightarrow 3y =  - x + 1 \\\Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1}}{3}x + \dfrac{1}{3}\,\,\left( {{d_2}} \right)\end{array}\)

b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau

\( \Leftrightarrow 2m \ne \dfrac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow m \ne \dfrac{{ - 1}}{6}\).

Vậy \(m \ne \dfrac{{ - 1}}{6}\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

c) Để hệ phương trình vô nghiệm thì hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) song song

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = \dfrac{{ - 1}}{3}\\5 \ne \dfrac{1}{3}\,\,\left( \text{luôn đúng} \right)\end{array} \right. \)

\(\Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1}}{6}\).

Vậy \(m = \dfrac{{ - 1}}{6}\) thì hệ phương trình vô nghiệm.