Bài 78 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Vẽ đồ thị (P) của hàm số \(y = {x^2} - x + 1\) và đồ thị (H) của hàm số \(y = {1 \over {x + 1}}\).

Giải chi tiết:

Đồ thị

LG b

Tìm giao điểm của hai đường cong (P) và (H). Chứng minh rằng hia đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

Giải chi tiết:

Hoành độ giao điể của parabol (P) và hypebol (H) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - x + 1 = {1 \over {x + 1}} \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) = 1\) (vì x = -1 không là nghiệm của phương trình) 

\( \Leftrightarrow {x^3} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0;\,\left( {y\left( 0 \right) = 1} \right)\)

Giao điểm của (P) và (H) là A(0;1)

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 1;\,g\left( x \right) = {1 \over {x + 1}}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x - 1;\,g'\left( x \right) =  - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(f'\left( 0 \right) = g'\left( x \right) =  - 1\)

Suy ra (P) và (H) có tiếp tuyến chung tại A nên (P) và (H) tiếp xúc nhau tại điểm A.

LG c

Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dưới (H).

Giải chi tiết:

Xét hiệu \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^2} - x +1 - {1 \over {x + 1}} = {{{x^3}} \over {x + 1}}\)

Bảng xét dấu f(x) – g(x)

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) (P) nằm phía trên (H). Trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) (P) nằm phía dưới (H).