Bài 74 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:

x⁴ + (1 - 2m)x² + m² – 1 = 0

LG a

 Vô nghiệm

Giải chi tiết:

Đặt y = x² ; y ≥ 0, ta được phương trình:

y² + (1 – 2m)y + m² – 1 = 0   (1)

Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm hoặc (1) chỉ có nghiệm âm

Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& \Delta = {(1 - 2m)^2} - 4({m^2} - 1) = 5 - 4m < 0 \cr 
& \Rightarrow m > {5 \over 4} \cr} \)

Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr 
P > 0 \hfill \cr 
S < 0 \hfill \cr} \right.\)

Thay Δ = 5 – 4m, P = m²– 1 và S = 2m – 1, ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
5 - 4m \ge 0 \hfill \cr 
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr 
2m - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - 1\) 

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi

\(\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr 
m > {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\)

LG b

Có hai nghiệm phân biệt

Giải chi tiết:

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.

Ta xét hai trường hợp:

+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

P = m²  - 1 < 0 hay -1 < m < 1

Nếu Δ = 0 hoặc \(m = {5 \over 4}\) thì phương trình (1) có một nghiệm kép dương \(x = {3 \over 4}\)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

 \(m \in ( - 1,1) \cup {\rm{\{ }}{5 \over 4}{\rm{\} }}\)

LG c

Có bốn nghiệm phân biệt

Giải chi tiết:

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, tức là:

\(\left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr 
P < 0 \hfill \cr 
S > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5 - 4m > 0 \hfill \cr 
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr 
2m - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 1 < m < {5 \over 4}\)