Bài 6 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao

Giải bài 6 trang 54 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD ...


Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao SH bằng \({a \over 2}.\)

LG a

Chứng minh rằng tồn tại mặt cầu tâm tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của BC thì \(HI = {a \over 2} = SH.\)

Gọi J là trung điểm của SI thì \(HJ \bot SI,\) mặt khác \(HJ \bot BC\), vậy \(HJ \bot mp(SBC)\) đồng thời \(HJ = {{SI} \over 2} = {1 \over 2}.{a \over 2}\sqrt 2  = {{a\sqrt 2 } \over 4}.\)

Tương tự, ta có khoảng cách từ H tới các mặt bên của hình chóp đã cho cũng bằng \({{a\sqrt 2 } \over 4}.\)

Như vậy, mặt cầu tiếp xúc với các mặt bên của hình chóp S.ABCD.


LG b

Gọi (P) là mặt phẳng song song với mp(ABCD) và cách mp(ABCD) một khoảng x (0 < x < R). Gọi Std là diện tích thiết diện tạo bởi mp(P) và hình chóp bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x để \({S_{td}} = \pi {R^2}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi H1 là giao điểm của (P) và SH thì \(H{H_1} = x,0 < H{H_1} < R\) và thiết diện của hình chóp với (P) là hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.\) Khi ấy

\({{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}} \over {{S_{ABCD}}}} = {\left( {{{{a \over 2} - x} \over {{a \over 2}}}} \right)^2} = {{{{\left( {a - 2x} \right)}^2}} \over {{a^2}}}.\)

Từ đó \({S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {(a - 2x)^2}.\)

Ta có (P) cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn bán kính r được tính bởi \({r^2} = {R^2} - {x^2}\) hay \({r^2} = {{{a^2}} \over 8} - {x^2} = {{{a^2} - 8{x^2}} \over 8},\) từ đó diện tích hình tròn thu được là \({1 \over 8}\pi \left( {{a^2} - 8{x^2}} \right).\)Vậy

\(\eqalign{   {S_{td}} &= {(a - 2x)^2} - {1 \over 8}\pi ({a^2} - 8{x^2}) \cr&= {1 \over 8}\left[ {8{{(a - 2x)}^2} - \pi ({a^2} - 8{x^2})} \right].  \cr  &  \cr} \)

Ta có

\(\eqalign{  & {S_{td}} = \pi {R^2} = {1 \over 8}\pi {a^2} \cr&\Leftrightarrow 8{(a - 2x)^2} - \pi {a^2} + 8\pi {x^2} = \pi {a^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 4\left[ {{{(a - 2x)}^2} + \pi {x^2}} \right] = \pi {a^2}  \cr  &  \Leftrightarrow x = {{4a - \pi a} \over {8 + 2\pi }} \cr} \)

(vì \(0 < x < R = {{a\sqrt 2 } \over 4}\)).

Bài giải tiếp theo



Từ khóa phổ biến