Bài 1 trang 54 SBT Hình học 12 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD, biết AB=BC=AC=BD=a, AD=b, hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau.

LG a

Chứng minh rằng tam giác ACD vuông.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm của CD, do BC = BD = a nên \(BI \bot CD.\)

Mặt khác \(mp\left( {BCD} \right) \bot mp\left( {ACD} \right)\) nên \(BI \bot mp(ACD).\)

Xét các tam giác vuông AIB và DIB có cạnh góc vuông BI chung, BA = BD, từ đó AI = ID.

Vậy ACD là tam giác vuông tại A.

LG b

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết:

Từ chứng minh trên, ta thấy tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thuộc BI, do đó, bán kính mặt cầu phải tìm chính là bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Dễ thấy CB²=BI.BB’=2R.BI, tức là \(R = {{{a^2}} \over {2BI}}.\)

Mặt khác

\(\eqalign{  & B{I^2} = B{C^2} - {{C{D^2}} \over 4} = {a^2} - {{{a^2} + {b^2}} \over 4} = {{3{a^2} - {b^2}} \over 4}  \cr  &  \Rightarrow BI = {1 \over 2}\sqrt {3{a^2} - {b^2}} ,0 < b < a\sqrt 3 . \cr} \)

Như vậy \(R = {{{a^2}} \over {\sqrt {3{a^2} - {b^2}} }}\)

Do đó diện tích mặt cầu phải tìm bằng \({{4\pi {a^4}} \over {3{a^2} - {b^2}}}\) với \(0 < b < a\sqrt 3 \).