Đề bài
Hình thang \(ABCD \,(AB//CD)\) có \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O, AD\) và \(BC\) cắt nhau tại \(K\). Chứng minh rằng \(OK\) đi qua trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB, CD\) cắt \(AD, BC\) lần lượt tại \(E, F\).
- Chứng minh \(\dfrac{{AN}}{{EO}}=\dfrac{{BN}}{{FO}}\).
- Chứng minh \(\dfrac{{EO}}{{DM}}=\dfrac{{FO}}{{CM}}\).
Lời giải chi tiết
Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB, CD\) cắt \(AD, BC\) lần lượt tại \(E, F\).
Suy ra \(AB//EF//CD\)
Gọi N là giao của KO và AB, M là giao của KO với DC.
Ta có: \(OE // DC\) (gt)
\( \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{AO}}{{AC}}\left( 1 \right)\) (hệ quả của định lí TaLet)
\(OF // DC\) (gt)
\( \Rightarrow \dfrac{{OF}}{{DC}} = \dfrac{{BF}}{{BC}}\left( 2 \right)\) (hệ quả của định lí TaLet)
\(OF // AB\) (gt)
\( \Rightarrow \dfrac{{BF}}{{BC}} = \dfrac{{OA}}{{AC}}\) (3) (hệ quả của định lí TaLet)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(\dfrac{{OE}}{{DC}} = \dfrac{{OF}}{{DC}} \Rightarrow OE = OF\)
Ta có: \(AB//EF\) (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}};\,\dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} = \dfrac{{KN}}{{K{\rm{O}}}}\\
\Rightarrow \dfrac{{AN}}{{EO}} = \dfrac{{BN}}{{F{\rm{O}}}} \\\text{Mà } EO=FO\\ \Rightarrow AN = BN
\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(N\) là trung điểm của \(AB.\)
Tương tự ta có: \(EF // DC\) (gt) áp dụng hệ quả của định lí TaLet ta có:
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}};\,\dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}} = \dfrac{{KO}}{{K{\rm{M}}}}\\
\Rightarrow \dfrac{{EO}}{{DM}} = \dfrac{{FO}}{{C{\rm{M}}}}\\\text{Mà }EO=FO\\ \Rightarrow DM = CM
\end{array}\)
\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(CD\).
Vậy \(OK\) đi qua trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\).