Bài 55 trang 80 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho hình \(51\):

Chứng minh ba điểm \(B, C, D\) thẳng hàng

Gợi ý: Chứng minh \(\widehat{ADB}+ \widehat{ADC} = {180^0}\)

Lời giải chi tiết

Nối \(BD, AD\) và \(CD\).

Từ hình vẽ ta có:

\(DK\) là đường trung trực của \(AC\) suy ra:  \( AD = CD\) (theo định lí)    (1)

\(DI\) là đường trung trực của \(AB\) suy ra:  \(BD = AD\) (theo định lí)      (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(BD = AD = CD\)

Xét \(ΔADK\) và \(ΔCDK\) có:

+)  \(  AD = CD\) (chứng minh trên)

+)  \( DK\) chung

+)  \(   AK = KC\) (giả thiết)

Vậy \(ΔADK = ΔCDK\) (c.c.c)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADK}= \widehat{CDK}\) (hai góc tương ứng)

hay \(DK\) là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADK}= \dfrac{1}{2}\widehat{ADC}\)

Xét \(∆ADI\) và \(∆BDI\) có:

+) \(DI\) chung

+) \(AD=BD\) (chứng minh trên)

+) \(AI=BI\) (giả thiết)

Vậy \(∆ADI = ∆BDI\) (c.c.c)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADI}= \widehat{BDI}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow\) \(DI\) là tia phân giác của \(\widehat{ADB}\)

\( \Rightarrow\) \(\widehat{ADI} = \dfrac{1}{2}\widehat{ADB}\)

Vì \(AC // DI\) ( cùng vuông góc với \(AB\)) mà \(DK ⊥ AC\) 

\( \Rightarrow DK ⊥ DI\)

hay \(\widehat{ADK}\) + \(\widehat{ADI} = {90^0}\)

Do đó  \(\dfrac{1}{2}\widehat{ADC} + \dfrac{1}{2} \widehat{ADB} = {90^0}\)

\( \Rightarrow\widehat{ADC} + \widehat{ADB}= {180^0}\)

Vậy \(B, D, C\) thẳng hàng (điều phải chứng minh).