Bài 53 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {{x + 1} \over {x - 2}}\)

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 2 \right\}\)
Tiệm cận đứng \(x = 2\); tiệm cận ngang \(y = 1\).

\(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 2\)

Điểm đặc biệt: \(A\left( {0; - {1 \over 2}} \right),\,B\left( { - 1;0} \right)\)

Đồ thị nhận điểm \(I(2;1)\) làm tâm đối xứng.

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm \(A\) của đồ thị với trục tung.

Giải chi tiết:

Giao điểm của đồ thị với trục tung \(A\left( {0; - {1 \over 2}} \right)\)

\(y'\left( 0 \right) =  - {3 \over 4}\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại \(A\) là:

\(y + {1 \over 2} =  - {3 \over 4}\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y =  - {3 \over 4}x - {1 \over 2}\)

LG c

Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm \(A\).

Giải chi tiết:

Giả sử \(M\) là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại \(A\) ta có:

\(y'\left( {{x_M}} \right) =  - {3 \over 4} \Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left( {{x_M} - 2} \right)}^2}}} =  - {3 \over 4} \Leftrightarrow {\left( {{x_M} - 2} \right)^2} = 4\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_M} - 2 = 2 \hfill \cr 
{x_M} - 2 = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_M} = 4 \hfill \cr 
{x_M} = 0\,\,(\text{ loại vì }{x_A} = 0) \hfill \cr} \right.\)

\(y\left( 4 \right) = {5 \over 2}\). Vậy \(M\left( {4;{5 \over 2}} \right)\)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\) là: \(y - {5 \over 2} =  - {3 \over 4}\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow y =  - {3 \over 4}x + {{11} \over 2}\)