Bài 51 trang 33 SGK Toán 8 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

LG a.

\(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.

Giải chi tiết:

\(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) = \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)\)

\(\Leftrightarrow\)\( \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2} \right) - \left( {5x - 8} \right)\left( {2x + 1} \right)\) \( = 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 2 - 5x + 8} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {6- 2x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x + 1 = 0} \cr {6 - 2x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \dfrac{ - 1} {2}} \cr {x = 3} \cr} } \right.} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = \dfrac{{ - 1}}{2};\; x = {3}\) .

LG b.

\(4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\)

Phương pháp giải:

Biến đổi \(4{x^2} - 1 = {\left( {2x} \right)^2} - {1^2}\)\(\, = \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)\) sau đó đặt nhân tử chung đưa phương trình về dạng phương trình tích.

Giải chi tiết:

\(4{x^2} - 1 = \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \) \(= \left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right)\)

\(\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 1 - 3x + 5} \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {4 - x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x + 1 = 0} \cr {4 - x = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = \dfrac{{ - 1}}{2}} \cr {x = 4} \cr} } \right.} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = \dfrac{{ - 1}}{2};x = 4\)

LG c.

\({\left( {x + 1} \right)^2} = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right);\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hằng đẳng thức để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích.

Giải chi tiết:

Cách 1:

\({\left( {x + 1} \right)^2} = 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\)

\(\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\) \( = \left[ {2(x - 1} \right){]^2}\) 

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} - {\left( {2x - 2} \right)^2} = 0\)            

\(\Leftrightarrow \left( {x + 1 - 2x + 2} \right)\left( {x + 1 + 2x - 2} \right) \) \(= 0\)

\(\Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{3 - x = 0} \cr {3x - 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 3} \cr {x = \dfrac{1}{3}} \cr} } \right.} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \( x = 3;\; {x = \dfrac{1}{3}}\)

Cách 2:

Ta có:

\((x + 1)^2 = 4(x^2 – 2x + 1)\) 

\(⇔ (x + 1)^2 - 4(x^2 – 2x + 1) = 0\)

\(⇔ x^2 + 2x +1- 4x^2 + 8x – 4 = 0\)

\(⇔ - 3x^2 + 10x – 3 = 0\)

\(⇔ (- 3x^2 + 9x) + (x – 3) = 0\)

\(⇔ -3x (x – 3)+ ( x- 3) = 0\)

\(⇔ ( x- 3). ( - 3x + 1) = 0\) 

\(⇔ x - 3 = 0\) hoặc  \(-3x + 1= 0\)

+) \(x - 3 = 0\) \( ⇔ x = 3\)

+) \(- 3x + 1 = 0\) \( ⇔ - 3x = - 1 ⇔ x = \dfrac{1}{3}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: \(S = \left\{ {3;\dfrac{1}{3}} \right\}\)

LG d.

\(2{x^3} + 5{x^2} - 3x = 0\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung và phương pháp tách để đưa phương trình về dạng phương trình tích.

*) Giải phương trình tích: \(A(x).B(x)=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
A\left( x \right) = 0 \hfill \\
B\left( x \right) = 0 \hfill \\ 
\end{gathered} \right.\)

Giải chi tiết:

\(2{x^3} + 5{x^2} - 3x = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {2{x^2} + 5x - 3} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow x(2{x^2} + 6x - x - 3) = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left[ {2x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right)} \right] = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x + 3 = 0} \cr {2x - 1 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = 0} \cr {x = - 3} \cr {x =\dfrac{1}{2}} \cr} } \right.\)

Vậy phương trình có ba nghiệm \(x = 0;\; x = -3;\;  x =\dfrac{1}{2}\).