Bài 50 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hai mặt phẳng song song có phương trình

\(Ax + By + Cz + D = 0\) và \(Ax + By + Cz + E = 0\)

LG a

Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(A \ne 0\), khi đó mặt phẳng thứ nhất cắt trục Ox tại điểm \({M_0},{M_0} = \left( { - {D \over A};0;0} \right).\) Khoảng cách từ \({M_0}\) tới mặt phẳng thứ hai chính là khoảng cách d giữa hai mặt phẳng đó.

Vậy \(d = {{\left| { - A.{D \over A} + E} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = {{\left| {E - D} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.\)

LG b

Viết phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) song song với hai mặt phẳng đã cho có phương trình

\(Ax + By + Cz + F = 0\left( {F \ne D,F \ne E} \right)\)

Để \(\left( \alpha  \right)\) cách đều cả hai mặt phẳng đã cho thì

\(\eqalign{  & {{\left| {F - D} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }} = {{\left| {F - E} \right|} \over {\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}.  \cr  &  \Leftrightarrow \left| {F - D} \right| = \left| {F - E} \right| \Leftrightarrow F - D =  \pm \left( {F - E} \right). \cr} \)

Vì \(D \ne E,\) nên ta phải có \(F - D =  - F + E \Rightarrow F = {{D + E} \over 2}.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là :

\(Ax + By + Cz + {{D + E} \over 2} = 0\)